[论文解读] Distributed Computation of Sparse Cuts

Atish Das Sarma, Anisur Rahaman Molla+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文提出两种基于随机游走和PageRank的快速分布式算法，用于在无向网络中计算稀疏割，实现 Õ(√φ) 的导出率近似，时间复杂度为 Õ(1/φ + n) 轮。这些算法无需事先知晓最优导出率 φ，可识别出高度连通的局部聚类和关键瓶颈边。

ABSTRACT

Finding sparse cuts is an important tool in analyzing large-scale distributed networks such as the Internet and Peer-to-Peer networks, as well as large-scale graphs such as the web graph, online social communities, and VLSI circuits. In distributed communication networks, they are useful for topology maintenance and for designing better search and routing algorithms. In this paper, we focus on developing fast distributed algorithms for computing sparse cuts in networks. Given an undirected $n$-node network $G$ with conductance $ϕ$, the goal is to find a cut set whose conductance is close to $ϕ$. We present two distributed algorithms that find a cut set with sparsity $ ilde O(\sqrtϕ)$ ($ ilde{O}$ hides $\polylog{n}$ factors). Both our algorithms work in the CONGEST distributed computing model and output a cut of conductance at most $ ilde O(\sqrtϕ)$ with high probability, in $ ilde O(\frac{1}{b}(\frac{1}ϕ + n))$ rounds, where $b$ is balance of the cut of given conductance. In particular, to find a sparse cut of constant balance, our algorithms take $ ilde O(\frac{1}ϕ + n)$ rounds. Our algorithms can also be used to output a {\em local} cluster, i.e., a subset of vertices near a given source node, and whose conductance is within a quadratic factor of the best possible cluster around the specified node. Both our distributed algorithm can work without knowledge of the optimal $ϕ$ value and hence can be used to find approximate conductance values both globally and with respect to a given source node. We also give a lower bound on the time needed for any distributed algorithm to compute any non-trivial sparse cut --- any distributed approximation algorithm (for any non-trivial approximation ratio) for computing sparsest cut will take $ ilde Ω(\sqrt{n} + D)$ rounds, where $D$ is the diameter of the graph.

研究动机与目标

• 在无需事先知晓最优导出率的情况下，设计高效的大规模网络稀疏割分布式算法。
• 在分布式网络中识别出高度连通的局部聚类和关键瓶颈边，以提升路由效率与拓扑维护能力。
• 在消息大小受限的 CONGEST 模型下，为稀疏割计算提供可证明的近似保证。
• 建立任意分布式稀疏割近似算法的时间复杂度下界。
• 通过可扩展且精确的稀疏割检测，支持网络设计、聚类与拥塞控制等应用。

提出的方法

• 利用随机游走估计节点访问的概率分布，实现分布式环境下的导出率近似。
• 应用基于PageRank的技术，为给定源节点计算导出率较低的局部聚类，确保聚类内部高度连通。
• 设计两阶段算法：第一阶段，从多个源节点执行随机游走以估计割的稀疏性；第二阶段，基于导出率计算并评估分割方案。
• 利用 CONGEST 模型，即每个节点每轮仅能发送 O(1) 条消息，以确保通信效率。
• 通过将生成树连通子图验证问题约化，推导出稀疏割计算的时间复杂度下界。
• 通过重复随机游走过程 O(log n) 次，以提高概率正确性，从而增强精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种分布式算法，在每个节点的多项式对数时间内，将导出率近似到最优值的 Õ(√φ) 范围内？
• RQ2 在未知最优 φ 的前提下，如何为给定源节点计算一个导出率接近最优聚类的局部聚类？
• RQ3 任何分布式算法在计算非平凡稀疏割时，所需的时间复杂度下限是多少？
• RQ4 我们能否在不依赖最优导出率 φ 的先验知识的前提下，仍实现良好的近似保证？
• RQ5 随机游走与PageRank在多大程度上可结合使用，以提升分布式稀疏割计算的效率？

主要发现

• 所提出的算法以高概率在 Õ(1/φ + n) 轮内计算出导出率至多为 Õ(√φ) 的割，其中 φ 为网络的导出率。
• 对于平衡度为常数的割，运行时间为 Õ(1/φ + n) 轮，与下界仅相差多对数因子。
• 算法可在不知晓 φ 的前提下，计算出导出率在最优聚类的平方因子范围内的局部聚类。
• 建立了任意分布式稀疏割近似算法的时间复杂度下界为 Õ(√n + D) 轮，其中 D 为图的直径。
• 算法通信高效，每轮仅使用小消息，适用于标准的 CONGEST 模型。
• 结果可用于识别关键边与高度连通的组件，支持拓扑感知的网络设计与维护。