[论文解读] Distributed exact quantum algorithms for Deutsch-Jozsa problem

Hao Li, Daowen Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了三种用于Deutsch-Jozsa问题的分布式精确量子算法，利用全局函数特性（常数/平衡）与子函数结构之间的等价特性。通过在多个节点间利用量子隐形传态和定制的酉操作，这些算法在查询复杂度上相对于经典分布式方法实现了指数级优势，并且相比原始DJ算法减少了量子比特数量和电路深度。

ABSTRACT

Deutsch-Jozsa (DJ) problem is one of the most important problems demonstrating the power of quantum algorithm. DJ problem can be described as a Boolean function $f$: $\{0,1\}^n ightarrow \{0,1\}$ with promising it is either constant or balanced, and the purpose is to determine which type it is. DJ algorithm can solve it exactly with one query. In this paper, we first discover the inherent structure of DJ problem in distributed scenario by giving a number of equivalence characterizations between $f$ being constant (balanced) and some properties of $f$'s subfunctions, and then we propose three distributed exact quantum algorithms for solving DJ problem. Our algorithms have essential acceleration over distributed classical deterministic algorithm, and can be extended to the case of multiple computing nodes. Compared with DJ algorithm, our algorithms can reduce the number of qubits and the depth of circuit implementing a single query operator. Therefore, we find that the structure of problem should be clarified for designing distributed quantum algorithm to solve it.

研究动机与目标

• 解决Deutsch-Jozsa问题在分布式环境下缺乏精确且可扩展的量子算法的问题。
• 通过子函数分析，识别分布式设置下DJ问题的内在结构性质。
• 设计出在查询复杂度上优于经典确定性方法的分布式量子算法。
• 相比原始DJ算法，减少单次查询算符中的量子比特数量和电路深度。
• 通过量子隐形传态和受控操作，在多个计算节点之间实现可扩展的精确解法。

提出的方法

• 推导出布尔函数f的全局常数性或平衡性与它的2^t个子函数f_w之间等价特性的关系。
• 设计算法1，使用Pauli-Z和XOR操作比较两个子函数，仅适用于双节点场景。
• 通过借鉴分布式Simon算法和HHL算法的技术，设计算法2，利用受控旋转和酉操作聚合子函数值。
• 通过结合算法1和2的策略，设计算法3，在单个门中最小化量子比特使用的同时支持多节点。
• 利用量子隐形传态在节点间传输控制量子比特，实现并行oracle查询，并将每个oracle的量子比特数从O(n)减少到n−t+1。
• 通过实现受控酉操作和基于测量的后处理，以确定性方式提取精确解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Deutsch-Jozsa问题的哪些结构性质使得其在分布式环境下可实现精确的量子计算？
• RQ2 如何利用子函数之间的关系来设计精确的分布式量子算法？
• RQ3 分布式量子算法能否在Deutsch-Jozsa问题上相对于经典分布式确定性算法实现指数级加速？
• RQ4 与原始DJ算法相比，如何最小化分布式单次查询算符中的电路深度和量子比特数量？
• RQ5 量子隐形传态在多大程度上能够提升分布式量子算法的可扩展性并减少资源开销？

主要发现

• 所提出的算法在查询复杂度上相对于经典分布式确定性算法具有指数级优势，后者在最坏情况下需要2^{n-1}+1次查询。
• 算法1仅限于处理两个子函数，但其单次查询算符仅使用1个量子比特，因此在该情况下量子比特使用最少。
• 算法2的酉算符U需要2^t + t + 2个量子比特，而算法3将单个门的最大量子比特数减少到3·2^{t-1} + t - 1。
• 通过使用量子隐形传态，每个oracle的量子比特数从O(n)减少到n−t+1，从而支持并行化并提高抗噪声能力。
• 这些算法是精确且可扩展的，避免了若将原始DJ算法简单应用于每个子函数时可能产生的误差累积。
• 性能表格显示，对于较大的t值，算法3的量子比特数和门数均低于算法2，表明其具有更好的可扩展性。