[论文解读] Distributed pursuit algorithms for probabilistic adversaries on connected graphs

Jesse Geneson|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Crime, Illicit Activities, and Governance参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了在连通图上，使用 k 名警卫追踪一个概率性对手（赌徒）的分布式追捕算法。研究证明，对于已知、未知以及已知变化的赌徒，当警卫选择最优初始位置时，期望捕获时间为 Θ(n/k)，通过基于扇区的划分和深度优先搜索策略，在三种对手模型下均实现了紧致的界限。

ABSTRACT

A gambler moves between the vertices $1, \ldots, n$ of a graph using the probability distribution $p_{1}, \ldots, p_{n}$. Multiple cops pursue the gambler on the graph, only being able to move between adjacent vertices. We investigate the expected capture time for the gambler against $k$ cops as a function of $n$ and $k$ for three versions of the game: (1) known gambler: the cops know the gambler's distribution (2) unknown gambler: the cops do not know the gambler's distribution (3) known changing gambler: the gambler's distribution can change every turn, but the cops know all of the gambler's distributions from the beginning. We show for $n > k$ that if the cops are allowed to choose their initial positions before the game starts and before they know the gambler's distribution(s), and if both the gambler and the cops play optimally, then the expected capture time is $Θ(n/k)$ for the known gambler, the unknown gambler, and the known changing gambler.

研究动机与目标

• 分析在不同信息假设下，k 名警卫在连通 n 个顶点的图上追捕概率性赌徒的期望捕获时间。
• 确定当警卫可在了解赌徒分布前选择初始位置时的最优策略。
• 在三种对手模型（已知、未知、已知变化的赌徒）下，建立期望捕获时间的紧致渐近界限。
• 设计基于图划分和深度优先搜索的分布式算法，实现在对手不确定性下的最优性能。
• 解决关于连通图上各类追捕游戏变体最坏情况捕获时间界限的开放问题。

提出的方法

• 利用生成树和引理1（关于顶点子集选择）将 n 个顶点的连通图划分为至多 k 个大小不超过 2n/k + 1 的连通扇区。
• 将每名警卫分配至一个扇区，并在其扇区的生成树子图上执行深度优先搜索（DFS），在叶节点处增加一次额外移动以确保覆盖。
• 通过随机抛硬币决定 DFS 的方向（前进或后退），将每轮循环的期望搜索时间减少至最多 3n/k + 1。
• 重复执行 DFS 循环直至捕获，每轮的逃避概率 ≤ e^(-2)，因此期望轮数约为 1/(1 - e^(-2))。
• 对于已知变化的赌徒，采用两阶段循环：首先移动至高概率顶点，然后在这些顶点上巡逻；通过共享顶点处理确保覆盖。
• 利用图的直径 d 推导低直径图的更紧界限，通过每 d 步重新定位警卫实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连通 n 个顶点的图上，已知赌徒与 k 名警卫的期望捕获时间最大值是多少？
• RQ2 在连通 n 个顶点的图上，未知赌徒与 k 名警卫的期望捕获时间最大值是多少？
• RQ3 在连通 n 个顶点的图上，已知变化的赌徒与 k 名警卫的期望捕获时间最大值是多少？
• RQ4 在连通 n 个顶点的图上，未知变化的赌徒与 k 名警卫的期望捕获时间最大值是多少？
• RQ5 图的直径如何影响具有概率性对手的追捕游戏中期望捕获时间？

主要发现

• 对于已知赌徒，当警卫选择最优初始位置时，期望捕获时间为 max(1, n/k)，与赌徒的分布无关。
• 对于未知赌徒，期望捕获时间的上界为 3.94n/k + 1.16，通过基于扇区的 DFS 及随机方向选择实现。
• 对于已知变化的赌徒，期望捕获时间最多为 6.33n/k + 3.17，采用适应分布变化的两阶段循环策略。
• 对于直径为 d 的图，已知变化赌徒的期望捕获时间最多为 1 + dn/k，该结果在低直径图（如星形图）中提供了更优的界限。
• 在所有三种模型（已知、未知、已知变化）中，当 n > k 时，期望捕获时间均为 Θ(n/k)，表明渐近最优性。
• 已知变化赌徒的下界为 Ω(n/k)，证实上界在渐近意义下是紧致的。