[论文解读] The Prophet Inequality Can Be Solved Optimally with a Single Set of Samples

Jack Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2018

Auction Theory and Applications参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出了一种简单的一样本算法，在面对能够控制数值顺序的至高无上的对手时，仍能实现对最优预言不等式结果的2倍近似。通过将已观察到的最大样本值设为固定阈值，并接受第一个超过该阈值的数值，赌徒可保证获得期望最大奖励的一半，仅使用每个分布的一个样本，即可达到经典全分布知识下的结果。

ABSTRACT

The setting of the classic prophet inequality is as follows: a gambler is shown the probability distributions of $n$ independent, non-negative random variables with finite expectations. In their indexed order, a value is drawn from each distribution, and after every draw the gambler may choose to accept the value and end the game, or discard the value permanently and continue the game. What is the best performance that the gambler can achieve in comparison to a prophet who can always choose the highest value? Krengel, Sucheston, and Garling solved this problem in 1978, showing that there exists a strategy for which the gambler can achieve half as much reward as the prophet in expectation. Furthermore, this result is tight. In this work, we consider a setting in which the gambler is allowed much less information. Suppose that the gambler can only take one sample from each of the distributions before playing the game, instead of knowing the full distributions. We provide a simple and intuitive algorithm that recovers the original approximation of $\frac{1}{2}$. Our algorithm works against even an almighty adversary who always chooses a worst-case ordering, rather than the standard offline adversary. The result also has implications for mechanism design -- there is much interest in designing competitive auctions with a finite number of samples from value distributions rather than full distributional knowledge.

研究动机与目标

• 确定在仅能获取每个分布一个样本的情况下，是否能够实现常数竞争比的近似解。
• 弥合在线选择问题中全分布知识与有限采样之间的差距。
• 提供一种简单且与顺序无关的算法，在信息极少的情况下表现可媲美经典预言不等式结果。
• 将预言不等式结果的应用范围扩展至具有有限样本的机制设计。

提出的方法

• 该算法将单个已观察样本中的最大值设为固定阈值。
• 无论何时出现，赌徒均接受第一个超过该阈值的数值。
• 分析通过一个模拟游戏完成，其中使用两组独立的样本集来证明2倍近似保证。
• 模拟假设每组分布独立抽取样本，并通过随机抛硬币的方式决定哪组样本用于样本阶段，哪组用于实际阶段。
• 该方法依赖对称性和耦合论证，将算法的表现与预言者的期望最大值进行比较。
• 该方法对最坏情况的顺序具有鲁棒性，因此是顺序无关的，适用于先验无关的机制设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用每个分布一个样本时，是否能在预言不等式问题中实现常数竞争比的近似？
• RQ2 是否存在一种简单且基于阈值的算法，在信息有限的情况下表现可媲美经典预言不等式？
• RQ3 当数值顺序由对手恶意选择时，此类算法是否仍能保持有效性？
• RQ4 该结果对具有有限样本的先验无关机制设计有何影响？

主要发现

• 所提出的单一样本算法实现了对预言者期望最大奖励的2倍近似。
• 即使面对能选择最坏数值顺序的至高无上对手，该算法仍能保证1/2的近似比。
• 该算法是顺序无关的，且无需了解数值大小，仅需了解相对顺序。
• 该方法可导出一种先验无关且顺序无关的定价机制，可在i.i.d.正则设定下实现最优收益的1/4近似。
• 对于MHR分布，当与懒惰样本保留策略结合时，该机制可保证最优收益的1/(4e)近似。
• 该结果表明，每个分布仅需一个样本，即可恢复经典结果中的1/2近似因子，且该因子为紧致的。