[论文解读] Distributed Symmetry Breaking in Hypergraphs

Shay Kutten, Danupon Nanongkai+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 40被引用 8

一句话总结

本论文提出了超图中基本对称性破缺问题的首个快速随机分布式算法，包括在 LOCAL 模型中实现 $O(\log^2 n)$ 轮的极大独立集（MIS）算法，以及在 CONGEST 模型中对任意 $\epsilon > 0$ 实现 $O(\Delta^{\epsilon} \operatorname{polylog} n)$ 轮的算法。关键贡献在于证明了超图 MIS 可以高效求解，从而为图问题（如平衡最小支配集和最小连通支配集）提供了更快速的算法。

ABSTRACT

Fundamental local symmetry breaking problems such as Maximal Independent Set (MIS) and coloring have been recognized as important by the community, and studied extensively in (standard) graphs. In particular, fast (i.e., logarithmic run time) randomized algorithms are well-established for MIS and $Δ+1$-coloring in both the LOCAL and CONGEST distributed computing models. On the other hand, comparatively much less is known on the complexity of distributed symmetry breaking in {\em hypergraphs}. In particular, a key question is whether a fast (randomized) algorithm for MIS exists for hypergraphs. In this paper, we study the distributed complexity of symmetry breaking in hypergraphs by presenting distributed randomized algorithms for a variety of fundamental problems under a natural distributed computing model for hypergraphs. We first show that MIS in hypergraphs (of arbitrary dimension) can be solved in $O(\log^2 n)$ rounds ($n$ is the number of nodes of the hypergraph) in the LOCAL model. We then present a key result of this paper --- an $O(Δ^ε ext{polylog}(n))$-round hypergraph MIS algorithm in the CONGEST model where $Δ$ is the maximum node degree of the hypergraph and $ε> 0$ is any arbitrarily small constant. To demonstrate the usefulness of hypergraph MIS, we present applications of our hypergraph algorithm to solving problems in (standard) graphs. In particular, the hypergraph MIS yields fast distributed algorithms for the {\em balanced minimal dominating set} problem (left open in Harris et al. [ICALP 2013]) and the {\em minimal connected dominating set problem}. We also present distributed algorithms for coloring, maximal matching, and maximal clique in hypergraphs.

研究动机与目标

• 为弥合对超图中对称性破缺问题分布式复杂度的理解差距，特别是极大独立集（MIS）问题。
• 为超图中的基本问题（如 MIS、着色、极大匹配和极大团）设计高效的随机分布式算法。
• 探索超图算法在解决标准图中经典问题（如平衡最小支配集（BMDS）和最小连通支配集（MCDS））中的实用性。
• 研究在 CONGEST 模型中可多项式对数时间求解的问题（如着色）与仍具挑战性的问题（如 MIS、击中集）之间的二分性。

提出的方法

• 提出一种新的超图分布式计算模型，区分顶点中心表示与客户端-服务器表示。
• 在 LOCAL 模型中设计一种随机 $O(\log^2 n)$ 轮的 MIS 算法，采用 Luby 算法的变体并引入超边层级协调机制。
• 通过将问题约化为线图，在 CONGEST 模型中实现 $O(\Delta^{\epsilon} \operatorname{polylog} n)$ 轮的 MIS 算法，利用高效的报文传递机制模拟 Luby 算法。
• 证明超图中的 $(\Delta+1)$-着色问题可通过边收缩约化为标准图着色问题，从而在 LOCAL 和 CONGEST 模型中均实现 $O(\log n)$ 轮的解法。
• 将超图中的极大匹配问题约化为线图上的 MIS 问题，通过模拟 Luby 算法实现 $O(\log n)$ 轮的解法。
• 利用超图 MIS 算法，通过将问题建模为超图问题，为标准图中的 BMDS 和 MCDS 问题构建首个快速分布式算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 CONGEST 模型下，能否在超图中实现快速（多项式对数轮次）的随机 MIS 算法？
• RQ2 在超图中，着色、极大匹配和极大团等基本对称性破缺问题的分布式复杂度是什么？
• RQ3 能否利用超图算法设计出解决标准图中经典问题的更快分布式算法？
• RQ4 在 CONGEST 模型中，是否存在超图问题复杂度的根本二分性——即某些问题（如着色）为多项式对数时间，而另一些问题（如 MIS）则不然？
• RQ5 能否在 CONGEST 模型下，为高维超图中的 MIS 问题证明超多项式对数下界？

主要发现

• 在 LOCAL 模型中实现了超图 MIS 的 $O(\log^2 n)$ 轮随机算法，其轮次数与标准图的最优已知界限一致。
• 在 CONGEST 模型中提出了针对任意 $\epsilon > 0$ 的 $O(\Delta^{\epsilon} \operatorname{polylog} n)$ 轮 MIS 算法，标志着向多项式对数界限迈出了重要一步。
• 证明了超图中的 $(\Delta+1)$-着色问题与标准图中一样容易，可在 LOCAL 和 CONGEST 模型中均以 $O(\log n)$ 轮求解。
• 通过将极大匹配问题约化为线图上的 MIS 问题，可在 CONGEST 模型中以 $O(\log n)$ 轮求解超图中的极大匹配。
• 超图 MIS 算法使首个快速分布式算法得以实现，用于标准图中的平衡最小支配集（BMDS）和最小连通支配集（MCDS）问题。
• 结果表明，在 CONGEST 模型中存在复杂度二分性：着色和极大匹配等问题为多项式对数时间，而 MIS 及相关问题仍难以在多项式对数时间内求解。