[论文解读] Distribution of reducible polynomials with a given coefficient set

Shane Chern|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过模约减和除数函数估计，为从固定有限集合 𝒮 中选取的具有整数系数的可约一元多项式数量建立了显式上界。关键结果为 |ℛₙ*⁽𝒮⁾| ≤ 4(n−1)Mⁿ⁻²(∑ₐ∈𝒮* d(a))²，其中 M 确保系数模 M 下互不相同，该结果被用于证明：当次数增加时，系数取值于 {0,±1} 的随机二元多项式可约的概率趋于零。

ABSTRACT

For a given set of integers $\mathcal{S}$, let $\mathcal{R}_n^*(\mathcal{S})$ denote the set of reducible polynomials $f(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ over $\mathbb{Z}[X]$ with $a_i\in\mathcal{S}$ and $a_0a_n e 0$. In this note, we shall give an explicit bound of $|\mathcal{R}_n^*(\mathcal{S})|$. We also present an application of this bound to reducible bivariate polynomials over $\mathbb{Z}[X,Y]$.

研究动机与目标

• 推导出系数受限于固定有限整数集合 𝒮 的可约一元多项式数量的显式上界。
• 通过将模约减方法推广至任意有限系数集合，推广 Bary-Soroker 与 Kozma 关于 ±1 系数多项式的结果。
• 将该上界应用于系数取值于 {0,±1} 的二元多项式，证明其可约性概率随次数增加而趋于零。
• 利用欧拉恒等式与系数计数，证明此类二元多项式的可约性概率在渐近意义上趋于零。

提出的方法

• 在模 M 下进行约减，其中 M 确保 𝒮 中所有元素模 M 下互不相同，从而将多项式单射地映射到 ℤ/Mℤ[X]。
• 通过计数常数项与首项系数固定的 ℤ/Mℤ[X] 中配对 (p̄, q̄) 的提升方式，来限制可分解方式的数量。
• 利用约减映射的单射性，证明每个此类配对在 ℛₙ*⁽𝒮⁾ 中至多对应一个多项式。
• 利用除数函数 d(a) 来计数常数项 a₀ 与首项系数 aₙ 的可能因式分解方式。
• 利用欧拉恒等式 ∏ₙ₌₀ᴺ⁻¹(x⁻³ⁿ + 1 + x³ⁿ) = ∑ₙ₌₋(³ᴺ⁻¹)/²^(³ᴺ⁻¹)/² xⁿ，说明代入 Y=3 可生成所有有界高度的整系数多项式。
• 将该上界与渐近估计 ∑ₙ≤x d(n) ∼ x log x 结合，证明可约性概率随 n⁻³/3ⁿ 衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定有限集合 𝒮 中的系数且常数项与首项系数非零的一元多项式，其可约多项式的最大数量是多少？
• RQ2 模约减技术如何被扩展以限制任意有限系数集合上的可约多项式数量？
• RQ3 当次数增加时，系数取值于 {0,±1} 的二元多项式的可约性概率是否趋于零？
• RQ4 欧拉恒等式能否用于关联系数集合与整系数多项式的密度，并辅助建立可约性上界？

主要发现

• 建立了显式上界：|ℛₙ*⁽𝒮⁾| ≤ 4(n−1)Mⁿ⁻²(∑ₐ∈𝒮* d(a))²，其中 M 为整数，且 𝒮 中所有元素模 M 下互不相同。
• 该上界对任意满足 0 ∉ 𝒮 的有限集合 𝒮 ⊂ ℤ 均有效，且 M 可取为 max𝒮 − min𝒮 + 1，或在模更小的 M 下残差仍互异时取更小值。
• 对于系数取值于 {0,±1} 的二元多项式 F(X,Y)，F(X,3) 可约的概率随 n → ∞ 衰减为 O(n³/3ⁿ)。
• F(X,Y) 因分解为 F(X,Y) = f(X)g(Y) 而可约的概率衰减为 O(3⁻ⁿ²)，相比主项可忽略不计。
• 通过三种机制（F(X,3) 可约、F(3,Y) 可约，或 F(X,Y) = f(X)g(Y)）导致可约的联合概率随 n → ∞ 而趋于零。
• 因此，对于系数取值于 {0,±1} 的二元多项式，有 limₙ→∞ ℙ(F 可约) = 0，该结果将 Bary-Soroker 与 Kozma 的结果推广至更广泛的系数集合。