[论文解读] Distribution of zeros and masses for holomorphic and subharmonic functions. I. Hadamard- and Blaschke-type conditions

Б. Н. Хабибуллин, Nargiza Tamindarova|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文建立了亚调和函数的零点分布与次调和函数的质质量之间关系的精确条件，将其与次调和极大函数的Riesz测度在区域边界附近的增长联系起来。通过次调和势论，将经典的Hadamard与Blaschke条件推广至任意区域和极大函数，证明了Riesz测度的可积性条件可推出零点序列或质量分布的相应收敛性条件，并在径向、Green函数层级、双曲及基于距离的设定下获得新结果，适用于复平面、单位圆盘和环形区域等复区域。

ABSTRACT

Let $M$ be a subharmonic function on a domain $D$ in the complex plane $\mathbb C$ with the Riesz measure $ν_M$. Let $f$ be a non-zero holomorphic function on $D$ such that $\log |f|\leq M$ on $D$ and the function $f$ vanish on a sequence ${ t Z}=\{{ t z}_k\}_{k=1,2, \dots}\subset D$ {\large(}$u ot\equiv -\infty$ be a subharmonic function on $D$ with the Riesz measure or the mass distribution $ν_u$, and $u\leq M$ on $D$ resp.{\large)}. Then restrictions on the growth of the Riesz measure $ν_M$ of the function $M$ near the boundary of the domain $D$ entail certain restrictions on the distribution of points of the sequence $ t Z$ (to the mass distribution $ν_u$ resp.). A quantitative form of research of this phenomenon is given immediately in the subharmonic framework. We also establish results in the inverse direction. We investigated in detail the cases when $D$ is $\mathbb C$, the unit disk, exterior of the unit disk, a concentric annulus, and $M$ is a radial function; $D$ is a regular domain and $M$ are constant on the level lines of Green's function of this domain $D$; $D$ is a domain of hyperbolic type, and $M$ are the superpositions of convex functions with functions that depend on the hyperbolic radius; $D$ is a regular domain and $M$ is the superposition of convex functions with a function dependent on the distance to some subset of the boundary of the domain $D$. All our main results and their implementation in more or less concrete situations are new not only for subharmonic functions $u$, and also for holomorphic functions $f$ even in the case when $D$ is $\mathbb C$, the unit disk, an annulus etc.

研究动机与目标

• 建立子调和极大函数M的Riesz测度增长与全纯函数零点分布或次调和函数质量分布之间的定量关系。
• 将经典的Hadamard与Blaschke型条件从复平面和单位圆盘的经典设定推广至一般区域与一般极大函数。
• 在次调和势论中提供一个统一框架，通过Riesz测度的可积性条件捕捉零点与质量分布的约束。
• 在径向、Green函数层级、双曲及基于距离的极大函数等多种几何设定下，为全纯函数与次调和函数推导出新的非平凡结果。
• 建立正向与逆向结果，表明Riesz测度的可积性蕴含零点或质量级数的收敛性，反之亦然，前提是满足适当的条件。

提出的方法

• 利用Riesz表示定理将子调和极大函数M与其正Borel测度ν_M联系起来，该测度控制全纯函数f的log|f|增长或次调和函数u的质量分布。
• 应用次调和势论，推导出ν_M的必要与充分条件，使得相应的零点序列{z_k}或质量分布ν_u满足类似于Hadamard或Blaschke型的收敛条件。
• 分析特定几何区域：复平面C、单位圆盘D、单位圆盘外部、同心环形区域，以及正则或双曲区域。
• 考虑极大函数M为径向、在Green函数等值线上为常数、或凸函数与双曲半径或到边界距离的叠加，并证明所隐含的零点或质量分布约束的精确估计。
• 使用测试函数如|z|^{-q}（用于Hadamard型条件）和log(1/|z|)或(1-|z|)（用于Blaschke型条件），推导出积分与级数收敛性准则。
• 在关键不等式（如(2.3)、(2.4C)）中推导出具有显式常数C与C̅_M的统一估计，确保结果具有定量性，并可推广至高维及全纯凸函数情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在区域D中，子调和极大函数M的Riesz测度ν_M需满足何种条件，才能保证满足log|f| ≤ M的全纯函数f的零点序列{z_k}满足类似∑|z_k|^{-q} < ∞的收敛条件？
• RQ2 ν_M在∂D附近的可积性条件如何导致涉及零点到边界距离的级数收敛，例如在单位圆盘中∑(1 - |z_k|) < ∞？
• RQ3 经典的Blaschke与Hadamard条件能否超越单位圆盘与复平面，推广至任意区域D与一般极大函数M？
• RQ4 Riesz测度ν_M的增长与次调和函数u ≤ M的质量分布之间存在何种精确的定量关系？
• RQ5 在何种几何与函数设定下——如径向、Green函数层级、双曲或基于距离的极大函数——这些推广条件能以精确常数成立？

主要发现

• 对于在C上满足log|f| ≤ M的全纯函数f，若存在某个q > 0使得∫_{C∖D(R₀)} |z|^{-q} dν_M(z) < ∞，则有∑_{|z_k| > R₀} |z_k|^{-q} < ∞，这推广了经典的Hadamard条件。
• 在单位圆盘D中，若∫_{D∖D(r₀)} log(1/|z|) dν_M(z) < ∞，或等价地∫_{D∖D(r₀)} (1 - |z|) dν_M(z) < ∞，则有∑_{|z_k| > r₀} (1 - |z_k|) < ∞，这推广了经典的Blaschke条件。
• 本文在C、D、D的外部、同心环形区域以及正则或双曲区域中，为零点与质量分布建立了新的精确条件，其中M为径向、在Green函数等值线上为常数，或为凸函数与双曲半径或到边界距离的叠加。
• 结果具有定量性与统一性，关键不等式(2.3)与(2.4C)中显式依赖常数C与C̅_M，使其可推广至高维及全纯凸函数情形。
• 所有主要结果不仅对次调和函数是全新的，即使在C、D与环形区域等经典区域中，对全纯函数而言亦属全新，表明本工作具有非平凡性与根本创新性。
• 该框架可通过复势论与解析圆盘自然推广至高维及全纯凸函数情形，关键估计由极大函数M统一控制。