[论文解读] Removable singularities for nonlinear subequations

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文通过引入 $M$-极点集（即闭集 $E$，满足 $E = \{\psi = -\infty\}$，其中 $\psi$ 为在 $E$ 外光滑的 $M$-次调和函数）的概念，建立了完全非线性二阶子方程的可移除奇点定理。关键结果表明：若子方程 $F$ 具有 $M$-单调性（即 $F + M \subset F$），则任意局部 $C^\infty$ 的 $M$-极点集 $E$ 对于在 $E$ 处上界局部有界的 $F$-次调和函数，以及在 $E$ 处连续的 $F$-调和函数，均为可移除的。该结果统一并推广了已知的 Monge-Ampère 方程与几何子方程的结果。

ABSTRACT

We study the problem of removable singularities for degenerate elliptic equations. Let F be a fully nonlinear second-order partial differential subequation of degenerate elliptic type on a manifold X. We study the question: Which closed subsets E in X have the property that every F-subharmonic function (subsolution) on X-E, which is locally bounded across E, extends to an F-subharmonic function on X. We also study the related question for F-harmonic functions (solutions) which are continuous across E. Main results assert that if there exists a convex cone subequation M such that F+M is contained in F, then any closed set E which is M-polar has these properties. To be M-polar means that E = {f = -\infty} where f is M-subharmonic on X and smooth outside of E. Many examples and generalizations are given. These include removable singularity results for all branches of the complex and quaternionic Monge-Ampere equations, and a general removable singularity result for the harmonics of geometrically defined subequations. For pure second-order subequations in R^n with monotonicity cone M, the Riesz characteristic p = p(M) is introduced, and extension theorems are proved for any closed singular set E of locally finite Hausdorff (p-2)-measure (or, more generally, of (p-2)-capacity zero). This applies for example to branches of the equation s_k(D^2 u) = 0 (kth elementary function) where p(M) = n/k. For convex cone subequations themselves, several removable singularity theorems are proved, independent of the results above.

研究动机与目标

• 确定哪些闭子集 $E \subset X$ 满足：在 $X \setminus E$ 上定义的 $F$-次调和函数，若在 $E$ 处局部有上界，则可延拓为在 $X$ 上的 $F$-次调和函数。
• 将此分析推广至在 $E$ 处连续的 $F$-调和函数（即解）。
• 将经典的可移除奇点结果推广至完全非线性、可能退化的椭圆型偏微分方程。
• 引入并刻画 $M$-极点集作为具有 $M$-单调性的子方程的可移除集的关键类。
• 将该理论应用于复和四元数 Monge-Ampère 方程以及几何定义的子方程，得出新的延拓定理。

提出的方法

• 定义子方程 $F$ 为 $M$-单调，若对每一点均有 $F + M \subset F$，其中 $M$ 为一个凸锥子方程。
• 将 $M$-极点集定义为闭集 $E = \{\psi = -\infty\}$，其中 $\psi$ 为在 $X \setminus E$ 上光滑的 $M$-次调和函数。
• 利用粘性理论与喷射理论方法，分析函数在 $E$ 附近上二阶喷射的性质，特别关注其是否属于 $F$-次水平集。
• 通过比较原理与测试函数的应用，建立延拓定理，利用 $M$-次调和函数的结构来控制奇点。
• 将一般框架应用于具体情形：复和四元数 Monge-Ampère 方程、$\sigma_k$-方程以及几何子方程。
• 引入单调性锥 $M$ 的 Riesz 特征 $p_M$，并证明对具有有限 $(p_M - 2)$-Hausdorff 测度的集合，延拓结果成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，闭集 $E \subset X$ 满足：在 $X \setminus E$ 上定义的 $F$-次调和函数，若在 $E$ 处有上界，则可延拓为在 $X$ 上的 $F$-次调和函数？
• RQ2 在何种条件下，闭集 $E$ 对于在 $E$ 处连续的 $F$-调和函数是可移除的？
• RQ3 在使非线性子方程的可移除奇点定理成立的背景下，$M$-单调性（$F + M \subset F$）起何作用？
• RQ4 Riesz 特征 $p_M$ 与 Hausdorff 测度如何关联于纯二阶子方程的奇点集可移除性？
• RQ5 该理论是否可应用于复和四元数 Monge-Ampère 方程的所有分支，以及几何定义的子方程？

主要发现

• 若 $F$ 为 $M$-单调，且 $E$ 为局部 $C^\infty$ 的 $M$-极点集，则在 $X \setminus E$ 上定义的任意 $F$-次调和函数，若在 $E$ 处局部有上界，则可延拓为在 $X$ 上的 $F$-次调和函数。
• 对于在 $X$ 上连续的 $F$-调和函数 $u$，若 $F$ 为 $M$-单调，且 $E$ 为无内点的闭集，且为局部 $C^\infty$ 的 $M$-极点集，则 $u$ 可延拓为在 $X$ 上的 $F$-调和函数。
• 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的纯二阶子方程，若单调性锥为 $M$，则任意具有局部有限 $(p_M - 2)$-Hausdorff 测度的闭集 $E$，对在 $E$ 处有上界的 $F$-次调和函数均为可移除的，其中 $p_M$ 为 $M$ 的 Riesz 特征。
• 对于 $k$-阶初等对称函数方程 $\sigma_k(D^2u) = 0$，Riesz 特征为 $p_M = n/k$，且对具有有限 $(n/k - 2)$-测度的集合，可移除性成立。
• 对于复 Monge-Ampère 方程，$p_M = 2n/k$；对于四元数 Monge-Ampère 方程，$p_M = 4n/k$，分别对应于具有有限 $(2n/k - 2)$-和 $(4n/k - 2)$-测度的集合的可移除性。
• 该理论可应用于复和四元数 Monge-Ampère 方程的所有分支，以及几何定义的子方程，为退化椭圆情形下的可移除奇点结果提供了通用框架。