[论文解读] Distributional chaos and Li-Yorke chaos in metric spaces

Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Holomorphic and Operator Theory参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文引入并系统分析了度量空间中二元关系序列的分布混沌与Li-Yorke混沌的新泛化形式，将先前的概念扩展至弗雷歇空间中的多值线性算子。主要贡献是一个统一框架，建立了各类混沌类型之间的联系，并通过密度准则与算子限制刻画了不规则向量与不变流形。

ABSTRACT

In this paper, we introduce several new types and generalizations of the concepts distributional chaos and Li-Yorke chaos. We consider the general sequences of binary relations acting between metric spaces, while in a separate section we focus our attention to some special features of distributionally chaotic and Li-Yorke chaotic multivalued linear operators in Frechet spaces.

研究动机与目标

• 将分布混沌与Li-Yorke混沌理论从单个算子推广至度量空间中的一般二元关系序列。
• 定义并分析新的混沌类型，包括重复$\tilde{X}$-分布混沌、$\langle\tilde{X},i\rangle$-混合混沌以及$\tilde{X}$-Li-Yorke混沌系统。
• 研究弗雷歇空间中分布混沌与Li-Yorke混沌多值线性算子（MLOs）的行为，重点聚焦于不规则向量与不变子流形。
• 通过诱导序列$({\mathbb{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$，建立全空间混沌与子集$\tilde{X} \subseteq X$上混沌之间的联系。
• 为未来在抽象动力系统中研究混沌（尤其是无界与多值算子）提供基础性、启发性的框架。

提出的方法

• 利用自然数集的下密度与上密度概念，定义度量空间中重复与集合性递推性质的广义混沌概念。
• 通过将动力系统限制在非空子集$\tilde{X} \subseteq X$上，定义$\tilde{X}$-分布混沌与$\tilde{X}$-Li-Yorke混沌，并分析轨道分布特性与分离性质。
• 应用分布不规则向量与流形的概念，特别是通过单个不规则向量$x$生成$X' = \text{span}\{x\}$，以构造一致混沌的子流形。
• 利用由$D({\mathbb{A}}_k) = D({\mathcal{A}}_k) \cap \tilde{X}$与${{\mathbb{A}}_k}x = {\mathcal{A}}_k x$定义的诱导序列$({\mathbb{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$，将$\tilde{X}$中的混沌与全空间中的混沌联系起来。
• 应用密度理论工具，如集合性、上密度、下密度与差集，以刻画重复与混合混沌类型。
• 提出混沌类型的层级结构，包括类型$s \in \{1,2,2\frac{1}{2},3\}$的分布混沌，并通过命题4.10建立$({\mathcal{A}}_k)$与$({\mathbb{A}}_k)$之间混沌的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将分布混沌与Li-Yorke混沌从单个算子推广至度量空间中二元关系的序列？
• RQ2 在诱导序列$({\mathbb{A}}_k)$的背景下，$\tilde{X}$-分布混沌与标准分布混沌之间存在何种关系？
• RQ3 在弗雷歇空间中，不规则向量及其线性张成如何生成分布混沌或Li-Yorke混沌子流形？
• RQ4 重复与混合混沌类型（$\langle\tilde{X},i\rangle$-混合、$(\tilde{X},j)$-混合）在何种意义上细化或扩展了经典混沌概念？
• RQ5 该框架能否扩展至无界或多值线性算子？其对超循环性与谱理论有何影响？

主要发现

• 本文证明：向量$x$是$({\mathcal{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$的（重复）$\tilde{X}$-分布不规则向量，当且仅当它是诱导序列$({\mathbb{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$的（重复）分布不规则向量，如命题4.10所形式化。
• 若$x \in \tilde{X} \cap \bigcap_{k=1}^\infty D({\mathcal{A}}_k)$，则单个（重复）$\tilde{X}$-分布不规则向量$x$的线性张成$X' = \text{span}\{x\}$构成$({\mathcal{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$的均匀（重复）$\tilde{X}$-分布不规则流形。
• 本文表明，即使在有限维空间中，分布混沌与Li-Yorke混沌也可能出现，如简单反例所示，这挑战了此类混沌需依赖无限维空间的直觉。
• 对于弗雷歇空间中的多值线性算子，不规则向量及其关联子流形的存在性与诱导算子序列$({\mathbb{A}}_k)$的结构相关，后者继承了原系统的混沌性质。
• 该框架允许定义$\tilde{X}$-Li-Yorke混沌与$\tilde{X}$-分布混沌类型$s$（$s \in \{1,2,2\frac{1}{2},3\}$），将先前在巴拿赫空间中的结果推广至一般度量空间。
• 本文证明：$\tilde{X}$-Li-Yorke不规则流形等价于$\tilde{X}$-混淆集，且对混合混沌类型同样成立，从而建立了混沌行为的层级结构。