[论文解读] Distributionally Robust Bottleneck Combinatorial Problems: Uncertainty Quantification and Robust Decision Making

Weijun Xie, Jie Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 47被引用 4

一句话总结

本文提出在 Wasserstein 不确定性集下具有分布鲁棒性的瓶颈组合优化问题（DRBCP），以应对随机瓶颈优化中的不确定性。针对不确定性量化（DRBCP-U）和决策制定（DRBCP-D）两种情形，建立了等价的混合整数规划（MIP）重构形式，表明 Wasserstein 半径可设定为 $ O(N^{-1/2}) $ 量级，从而在最小化保守性的同时提升鲁棒性。该方法进一步扩展至 $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $ 和 $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $，并构建了作为混合整数二阶锥规划（MISOCP）的决策鲁棒模型。

ABSTRACT

This paper studies data-driven distributionally robust bottleneck combinatorial problems (DRBCP) with stochastic costs, where the probability distribution of the cost vector is contained in a ball of distributions centered at the empirical distribution specified by the Wasserstein distance. We study two distinct versions of DRBCP from different applications: (i) Motivated by the multi-hop wireless network application, we first study the uncertainty quantification of DRBCP (denoted by DRBCP-U), where decision-makers would like to have an accurate estimation of the worst-case value of DRBCP. The difficulty of DRBCP-U is to handle its max-min-max form. Fortunately, the alternative forms of the bottleneck combinatorial problems from their blockers allow us to derive equivalent deterministic reformulations, which can be computed via mixed-integer programs. In addition, by drawing the connection between DRBCP-U and its sampling average approximation counterpart under empirical distribution, we show that the Wasserstein radius can be chosen in the order of negative square root of sample size, improving the existing known results; and (ii) Next, motivated by the ride-sharing application, decision-makers choose the best service-and-passenger matching that minimizes the unfairness. This gives rise to the decision-making DRBCP (denoted by DRBCP-D). For DRBCP-D, we show that its optimal solution is also optimal to its sampling average approximation counterpart, and the Wasserstein radius can be chosen in a similar order as DRBCP-U. When the sample size is small, we propose to use the optimal value of DRBCP-D to construct an indifferent solution space and propose an alternative decision-robust model, which finds the best indifferent solution to minimize the empirical variance. We further show that the decision robust model can be recast as a mixed-integer program.

研究动机与目标

• 开发一种面向分布不确定性下瓶颈组合优化问题的数据驱动鲁棒优化框架。
• 为多跳无线网络等应用中具有随机链路成本的场景，提供准确的最坏情况值估计（DRBCP-U）。
• 通过最小化最坏情况瓶颈成本，支持拼车和器官分配中的公平决策制定（DRBCP-D）。
• 建立关于 Wasserstein 半径的理论保证，以平衡鲁棒性与保守性。
• 将框架扩展至 $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $，其中目标是最小化前 $ \theta $ 个最大成本之和。

提出的方法

• 使用以经验分布为中心的 Wasserstein 不确定性集，对随机瓶颈问题中的分布不确定性进行建模。
• 通过杂波系统与阻塞系统对偶性，推导出 DRBCP-U 与 DRBCP-D 的等价确定性重构形式，使其可通过混合整数规划求解。
• 建立 DRBCP 与其样本平均近似（SAA）版本之间的联系，以证明 $ O(N^{-1/2}) $ 量级的 Wasserstein 半径具有合理性。
• 针对小样本情形，提出一种决策鲁棒模型，通过在 SAA 解所定义的无差别解空间上最小化经验方差来实现。
• 利用等值面与大M法重构，将决策鲁棒模型转化为混合整数二阶锥规划（MISOCP）。
• 将该框架应用于 $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $，其中目标是最小化最坏情况下前 $ \theta $ 个最大成本之和，采用类似的重构方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分布不确定性下，如何可靠地量化随机瓶颈组合优化问题的最坏情况值？
• RQ2 当真实成本分布存在不确定性时，如何确定最小化最坏情况瓶颈成本的最优决策？
• RQ3 是否可以在保持统计置信度的前提下，以较保守的方式选择 Wasserstein 半径？
• RQ4 在小样本情形下，如何在 SAA 解可能不可靠时维持鲁棒性？
• RQ5 该框架是否可扩展至最小化前 $ \theta $ 个最大成本之和的问题，而非仅限于最大值？

主要发现

• DRBCP-U 与 DRBCP-D 均可通过杂波与阻塞系统对偶性，转化为等价的混合整数规划（MIP）重构形式。
• Wasserstein 半径可设定为 $ O(N^{-1/2}) $ 量级，其保守性低于以往研究结果，同时确保统计置信度。
• 在相同半径下，DRBCP-D 的最优解也是其样本平均近似（SAA）版本的最优解。
• 对于小样本情形，所提出的决策鲁棒模型在无差别解空间上最小化经验方差，并被重构为混合整数二阶锥规划（MISOCP）。
• 针对 $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $ 的决策鲁棒模型，在次高斯成本假设下，可确保解对分布偏移具有高概率鲁棒性。
• 理论置信区间表明，给定所选半径，真实最坏情况值以高概率落在 DRBCP-D 解的 $ 2\theta $ 范围内。