[论文解读] Distributions of a particle's position and their asymptotics in the $q$-deformed totally asymmetric zero range process with site dependent jumping rates

Eunghyun Lee, Dong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文推导了具有位置依赖跳跃速率的 $q$-变形全向非对称零范围过程（q-TAZRP）中标记粒子位置的精确概率分布，涵盖有限系统和阶跃初始条件。论文建立了该分布的弗雷德霍姆行列式表示，并证明当时间趋于无穷时，其渐近收敛于GUE Tracy–Widom分布，揭示了与不对称简单排斥过程（ASEP）类似的普遍极限行为。

ABSTRACT

In this paper we study the probability distribution of the position of a tagged particle in the $q$-deformed Totally Asymmetric Zero Range Process ($q$-TAZRP) with site dependent jumping rates. For a finite particle system, it is derived from the transition probability previously obtained by Wang and Waugh. We also provide the probability distribution formula for a tagged particle in the $q$-TAZRP with the so-called step initial condition in which infinitely many particles occupy one single site and all other sites are unoccupied. For the $q$-TAZRP with step initial condition, we provide a Fredholm determinant representation for the probability distribution function of the position of a tagged particle, and moreover we obtain the limiting distribution function as the time goes to infinity. Our asymptotic result for $q$-TAZRP with step initial condition is comparable to the limiting distribution function obtained by Tracy and Widom for the $k$-th leftmost particle in the asymmetric simple exclusion process with step initial condition (Theorem 2 in Commun. Math. Phys. 290, 129--154 (2009)).

研究动机与目标

• 推导有限 $N$-粒子 $q$-TAZRP 中标记粒子位置的精确概率分布，其跳跃速率具有位置依赖性。
• 将分析扩展至阶跃初始条件，即无穷多粒子占据单一位置的情形。
• 为阶跃初始条件下标记粒子位置分布提供弗雷德霍姆行列式表示。
• 分析时间 $t \to \infty$ 时分布的渐近行为，特别是针对固定粒子序号 $m$ 的情形。
• 通过证明极限分布与GUE Tracy–Widom定律一致，建立 universality（普遍性），其类比于ASEP中的结果。

提出的方法

• 从 Wang 和 Waugh 对具有位置依赖速率 $g(k;x) = a_x(1 - q^k)$ 的有限 q-TAZRP 的转移概率中，推导出第 $m$ 个最右粒子的边缘分布。
• 利用围道积分表示，表达阶跃初始条件下标记粒子位置的概率生成函数。
• 通过一个迹类算子，构建标记粒子位置累积分布函数的弗雷德霍姆行列式表示。
• 在 $t \to \infty$ 的极限下，对弗雷德霍姆行列式应用渐近分析，使用涉及 $n^{2/3}$、$n^{1/2}$ 和 $n^{1/3}$ 项的标度极限。
• 依赖于已知的 $q$-TASEP 和随机矩阵理论（GUE、BBP 及 GUE 特征值分布）结果，解释极限行为。
• 使用特殊函数如 $q$-digamma 和 $q$-trigamma 函数 ($\Psi_q$, $\Psi_q'$) 来定义渐近区域中的标度参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有位置依赖跳跃速率的有限 $q$-TAZRP 中，标记粒子位置的精确概率分布是什么？
• RQ2 在 $q$-TAZRP 的阶跃初始条件下，第 $m$ 个最右粒子的位置分布行为如何？
• RQ3 阶跃初始条件下，位置分布能否通过弗雷德霍姆行列式表示？
• RQ4 当时间 $t \to \infty$ 时，对于固定的 $m$，标记粒子位置的极限分布是什么？
• RQ5 极限分布是否表现出与 ASEP 和 $q$-TASEP 中观察到的 Tracy–Widom 定律相当的普遍行为？

主要发现

• 在具有位置依赖速率的有限 $q$-TAZRP 中，第 $m$ 个最右粒子的概率分布被显式推导为已知转移概率的边缘分布。
• 在阶跃初始条件下，标记粒子位置的累积分布函数被表示为在围道积分上定义的迹类算子的弗雷德霍姆行列式。
• 在 $t \to \infty$ 的极限下，当标度参数 $\theta > \log_q \alpha$ 时，第 $m$ 个最右粒子的分布收敛于 GUE Tracy–Widom 分布，表明存在普遍的 Kardar–Parisi–Zhang（KPZ）类型涨落。
• 当 $\theta = \log_q \alpha$ 时，极限分布为 BBP 分布，其秩为 $k$，反映出系统涨落行为的相变。
• 当 $\theta < \log_q \alpha$ 时，极限分布对应于 $k \times k$ GUE 矩阵的最大特征值，表明处于不同的涨落区域。
• 渐近结果确认了在相互作用粒子系统中存在一种新的普遍行为，其极限分布与在类似标度下 ASEP 的结果一致。