[论文解读] Divergence and quasimorphisms of right-angled Artin groups

Jason Behrstock, Ruth Charney|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 7

一句话总结

该论文通过关联长度刻画右角Artin群（RAAGs）中测地线的发散行为，证明当且仅当定义图不是连通和时，发散为超线性（二次）；该研究进一步表明此类群具有无限维的非平凡拟同态空间，从而得出一个超刚性定理：不可约高秩格子仅在群为连通和时非平凡地映射到RAAGs中，此时发散为线性且拟同态空间为平凡。

ABSTRACT

We give a group theoretic characterization of geodesics with superlinear divergence in the Cayley graph of a right-angled Artin group A(G) with connected defining graph G. We use this to determine when two points in an asymptotic cone of A(G) are separated by a cut-point. As an application, we show that if G does not decompose as the join of two subgraphs, then A(G) has an infinite-dimensional space of non-trivial quasimorphisms. By the work of Burger and Monod, this leads to a superrigidity theorem for homomorphisms from lattices into right-angled Artin groups.

研究动机与目标

• 通过称为连通和长度的群论不变量，刻画右角Artin群（RAAGs）中测地线的发散行为。
• 确定RAAG的渐近锥中两点是否被割点分离，从而将发散与大尺度几何联系起来。
• 建立非连通和RAAGs具有无限维非平凡拟同态空间的结果，从而实现超刚性结论。
• 证明不可约高秩格子仅在群为连通和时非平凡地映射到RAAGs中。
• 通过割点分离方法，对RAAG渐近锥中各部分的结构进行分类。

提出的方法

• 作者利用RAAGs在CAT(0)立方复形 $X_\Gamma$（Salvetti复形的万有覆叠）上的作用，分析测地线上墙的交叉情况。
• 他们将“连通和长度”定义为测地线穿过的连通和子群陪集数量，该长度控制发散行为。
• 他们应用Bestvina–Fujiwara关于具有秩一等距变换的CAT(0)空间上拟同态的理论，证明拟同态空间为无限维。
• 他们对定义图 $\Gamma$ 的顶点数进行归纳，证明格子的超刚性。
• 他们应用Druţu–Mozes–Sapir的刻画：超线性发散等价于渐近锥中存在割点。
• 他们结合代数厚度理论（BDM）与发散分类结果，证明非连通和RAAGs的发散恰好为二次。

实验结果

研究问题

• RQ1 RAAG中的测地线在何种情况下具有超线性发散？这一性质由何种群论性质决定？
• RQ2 在RAAG的渐近锥中，两点在何种条件下被割点分离？
• RQ3 定义图 $\Gamma$ 的连通和结构与群 $A_\Gamma$ 的发散函数之间存在何种精确关系？
• RQ4 RAAG在何种情况下具有无限维非平凡拟同态空间？
• RQ5 从高秩格子到RAAGs的同态中，会产生何种超刚性性质？

主要发现

• 当 $\Gamma$ 连通时，$A\_\Gamma$ 中的双无限测地线具有线性发散，当且仅当其连通和长度为有限。
• RAAG的渐近锥中两点不被任何割点分离，当且仅当存在彼此靠近且连通和长度有限的点对。
• 若 $\Gamma$ 不是连通和，则 $A\_\Gamma$ 拥有无限维非平凡拟同态空间。
• $A\_\Gamma$ 的发散为线性当且仅当 $\Gamma$ 是连通和；否则发散恰好为二次。
• 不可约高秩格子仅在群为连通和时非平凡地映射到任意RAAG中，原因在于此类格子上不存在非平凡拟同态。
• RAAGs 为代数厚度零当且仅当 $\Gamma$ 是连通和；否则其厚度恰好为一。