[论文解读] Dividend and Capital Injection Optimization with Transaction Cost for Spectrally Negative Lévy Risk Processes

Wenyuan Wang, Yuebao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Probability and Risk Models参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文研究了由谱负 Lévy 过程建模的保险公司最优脉冲分红与资本金注入（IDCI）策略，考虑了分红和资本金注入的交易成本。文章推导出最大化分红净贴现期望值减去注入成本的最优 $(z_1, z_2)$ 策略，证明最优策略为 $(u_1, u_2)$ 型脉冲控制，并通过 scale 函数显式刻画，且验证了最优性条件。

ABSTRACT

For an insurance company with reserve modeled by the spectrally negative Lévy process, we study the optimal impulse dividend maximizing the expected accumulated net dividend payment subtracted by the accumulated cost of injecting capital. In this setting, the beneficiary of the dividends injects capital to ensure a non-negative risk process so that the insurer never goes bankrupt. The optimal impulse dividend and capital injection strategy together with its value function are obtained.

研究动机与目标

• 为解决经典分红优化在实际中的局限性，引入分红与资本金注入的交易成本。
• 通过建模资本金注入以防止破产并维持正盈余，确保长期偿付能力。
• 推导出最大化分红净贴现期望值减去注入成本的最优脉冲控制策略。
• 通过将现有脉冲控制结果推广至具有双重交易成本的谱负 Lévy 过程，实现一般化。
• 为保险公司提供可数值计算的框架，以设计长期利润分享与资本管理策略。

提出的方法

• 将 IDCI 问题表述为在具有固定分红与资本金注入交易成本的谱负 Lévy 风险过程中，基于随机控制问题的框架。
• 利用 Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）不等式框架刻画值函数与候选最优策略。
• 采用 scale 函数 $W^{(q)}$ 和 $Z^{(q)}$ 以闭式表达候选策略下的值函数。
• 通过证明候选值函数满足 HJB 不等式及控制边界处的光滑拼接条件，验证最优性。
• 通过最大化依赖于 scale 函数与模型参数的目标函数 $\xi(z_1, z_2)$，推导出最优 $(z_1, z_2)$ 策略。
• 通过校准参数 $\mu=1$, $\sigma=0.36$, $q=0.05$, 和 $\phi=1.05$ 的布朗运动示例，对最优策略进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有分红与资本金注入交易成本的谱负 Lévy 风险过程中，最优脉冲分红与资本金注入策略是什么？
• RQ2 分红与资本金注入的交易成本如何共同影响最优分红与注入水平？
• RQ3 最优策略的结构是怎样的？在何种条件下 $(z_1, z_2)$ 型脉冲控制是最优的？
• RQ4 交易成本 $c$ 与资本金注入成本 $\phi$ 的变化如何影响最优阈值 $z_1$ 与 $z_2$？
• RQ5 能否通过 scale 函数显式刻画值函数？候选策略是否可被验证为最优？

主要发现

• 最优 IDCI 策略为 $(z_1, z_2)$ 型脉冲控制，当盈余达到 $z_2$ 时支付红利并注入资本，使其降至 $z_1$。
• 当 $c=0.1$, $\phi=1.05$, $\mu=1$, $\sigma=0.36$, $q=0.05$ 时，最优阈值为 $(z_1, z_2) = (0.02682, 2.12950)$，使目标函数 $\xi$ 最大化。
• 随着交易成本 $c$ 增加，$z_1$ 缓慢减小，$z_2$ 增大，导致更少的交易频率，从而提高一次性红利与净红利总额。
• 当资本金注入成本 $\phi$ 增加时，$z_1$ 与 $z_2$ 稳步上升，但净红利额 $z_2 - z_1 - c$ 几乎保持不变，表明对注入成本具有对冲效应。
• 值函数 $V^{z_2}_{z_1}(x)$ 分段定义：当 $x \leq z_2$ 时为指数组合，当 $x > z_2$ 时为线性函数，且在 $x = z_2$ 处连续且光滑。
• 数值验证表明，对所有 $x \geq z_2$，有 $G(x) \geq 0$，满足验证定理中所需的最优性条件。