[论文解读] Dixmier Groups and Borel Subgroups

Yuri Berest, Alimjon Eshmatov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 55被引用 3

一句话总结

本文通过其在 Calogero-Moser 变体 $\mathcal{C}_n$ 上的作用，研究了 Dixmier 群 $G_n$，其定义为在微分亏格为 $n$ 的有理奇点曲线上的微分算子环的自同构群。证明了当 $n \geq 1$ 时，$G$ 在 $\mathcal{C}_n$ 上的作用是二重传递的，并在不同 $\mathcal{C}_{n_i}$ 的乘积上具有对角传递性，从而证明了稳定化子 $G_n$ 是极大子群，并通过多项式生成元的共轭作用，给出了 Borel 子群的显式描述。

ABSTRACT

Let G be the group of symplectic (unimodular) automorphisms of the free associative algebra on two generators. A theorem of G.Wilson and the first author asserts that G acts transitively the Calogero-Moser spaces C_n for all n. We generalize this theorem in two ways: first, we prove that the action of G on C_n is doubly transitive, meaning that G acts transitively on the configuration space of (ordered) pairs of points in C_n; second, we prove that the diagonal action of G on the product of (any number of) copies of C_n is transitive provided the corresponding n's are pairwise distinct. In the second part of the paper, we study the isotropy subgroups G_n of G in C_n. We equip each G_n with the structure of an ind-algebraic group and classify the Borel subgroups of these ind-algebraic groups for all n. Our classification shows that every Borel subgroup of G (= G_0) is conjugate to the subgroup B of triangular (elementary) automorphisms; on the other hand, for n > 0, the conjugacy classes of Borel subgroups of G_n are parametrized by certain orbits of B in C_n. Our main result is that the conjugacy classes of non-abelian Borel subgroups of G_n correspond precisely to the B-orbits of the C^*-fixed points in C_n and thus, are in bijection with the partitions of n. We also prove an infinite-dimensional analogue of the classical theorem of R.Steinberg, characterizing the (non-abelian) Borel subgroups of G_n in purely group-theoretic terms. Together with our classification this last theorem implies that the G_n are pairwise non-isomorphic as abstract groups. Our study of the groups G_n is motivated by the fact that these are the automorphism groups of non-isomorphic simple algebras Morita equivalent to the Weyl algebra A_1(C). From this perspective, our results generalize well-known theorems of J.Dixmier and L.Makar-Limanov about the automorphism group of A_1(C).

研究动机与目标

• 理解 Dixmier 群 $G_n = \mathrm{Aut}_{\mathbb{C}} D(X_n)$ 的结构与表示理论，其中 $X_n$ 是微分亏格为 $n$ 的有理奇点曲线。
• 分析自由代数 $R = \mathbb{C}\langle x,y \rangle$ 的辛自同构群 $G$ 在 Calogero-Moser 变体 $\mathcal{C}_n$ 上的作用。
• 建立该作用的强传递性质，包括二重传递性和在不同 $\mathcal{C}_{n_i}$ 乘积上的对角传递性，并由此推导出稳定化子 $G_n$ 的极大性。
• 通过共轭作用对标准子群（由形如 $(x + \lambda y^{s-1}, y)$ 和 $(x, y + \lambda x^{s-1})$ 的变换生成）进行分类，从而对 $G_n$ 的 Borel 子群进行分类，利用 $\mathcal{C}_n$ 的几何结构。

提出的方法

• 将群 $G$ 识别为 Weyl 代数 $A_1(\mathbb{C})$ 的自同构群，$G_n$ 作为 $G$ 在 Calogero-Moser 变体 $\mathcal{C}_n$ 上作用下某一点的稳定化子实现。
• 通过分析 $G$ 在 $\mathcal{C}_n^{[2]}$（即 $\mathcal{C}_n$ 中互异点的有序对的配置空间）上的作用，证明了二重传递性，表明 $G$ 在该空间上作用传递。
• 利用 $G$ 的作用结构和变体的几何性质，建立了在 $\mathcal{C}_{n_1} \times \cdots \times \mathcal{C}_{n_m}$ 上的对角传递性，其中 $n_i$ 互不相同。
• 通过标准子群 $T \ltimes \{ \Psi_{q(y)} \}$ 或 $T \ltimes \{ \Phi_{q(x)} \}$ 的共轭作用构造 Borel 子群，其中 $T$ 为对角自同构的环。
• 分类依赖于 $\mathcal{C}_n$ 中 $T$-不动点与 $n$ 的整数分拆 $\mu$ 之间的对应关系，每个分拆对应一个不同的 Borel 子群。
• 通过 $\Psi_{-y^k}$ 和 $\Phi_{x^k}$ 的共轭作用，推导出 Borel 子群的显式公式，其中子半群 $S_\mu$ 的结构保持与关联的 Weierstrass 多项式 $W_\mu$ 相关的单项式集合 $R_\mu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 群 $G$ 在 Calogero-Moser 变体 $\mathcal{C}_n$ 上的作用是否对所有 $n \geq 1$ 都是二重传递的？
• RQ2 当 $n_i$ 两两不同时，$G$ 在 $\mathcal{C}_{n_1} \times \cdots \times \mathcal{C}_{n_m}$ 上的对角作用是否仍保持传递性？
• RQ3 在 $\mathcal{C}_n$ 中任意点的稳定化子 $G_n$ 是否为 $G$ 的极大子群？
• RQ4 所有 $G_n$ 的 Borel 子群是否都可以通过形如 $(x + \lambda y^{s-1}, y)$ 和 $(x, y + \lambda x^{s-1})$ 的变换所生成的标准子群的共轭作用显式描述？
• RQ5 与 $n$ 的分拆 $\mu$ 相关的子半群 $S_\mu \subset \mathbb{N}$ 的精确结构是什么？该子半群保持与关联的 Weierstrass 多项式 $W_\mu$ 相关的单项式集合 $R_\mu$。

主要发现

• 对所有 $n \geq 1$，$G$ 在 $\mathcal{C}_n$ 上的作用是二重传递的，意味着 $G$ 在 $\mathcal{C}_n$ 中互异点的有序对空间上传递作用，且仅有两个轨道：对角线及其补集。
• 当 $n_1, \ldots, n_m$ 两两不同时，$G$ 在 $\mathcal{C}_{n_1} \times \cdots \times \mathcal{C}_{n_m}$ 上的对角作用是传递的，表明不同 $\mathcal{C}_n$ 之间具有强全局对称性。
• $\mathcal{C}_n$ 中任意点的稳定化子 $G_n$ 是 $G$ 的极大子群，这是该作用二重传递性的直接推论。
• 对每个 $n$ 的分拆 $\mu$，$G_n$ 的 Borel 子群 $B(\mu)$ 同构于 $T \ltimes G_{\mu,y}$，其中 $G_{\mu,y}$ 由变换 $\Psi_{c y^{s-1}}$ 生成，$s \in S_\mu$，$c \in \mathbb{C}$，且 $S_\mu$ 是保持 Weierstrass 多项式 $W_\mu$ 的单项式集合 $R_\mu$ 的子半群。
• 当 $n=1$ 时，Borel 子群为 $B_{(1)} = T \ltimes \{ \Psi_{c y^k} \mid c \in \mathbb{C}, k \geq 1 \}$，对应于标准 Borel 子群的完整幂零部分。
• 当 $n=2$ 时，存在两个 Borel 子群：$B_{(2)} = T \ltimes \{ \Psi_{c y^k} \mid k \geq 2 \}$ 和 $B_{(1,1)} = T \ltimes \{ \Phi_{c x^k} \mid k \geq 2 \}$，分别对应于 $\mathcal{C}_2$ 中两个 $T$-不动点所诱导的不同根系。