[论文解读] DNF Sparsification and a Faster Deterministic Counting Algorithm

Parikshit Gopala, Raghu Meka+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对DNF公式的新型稀疏化技术，证明了任意宽度为$w$的DNF均可通过仅含$(w\log(1/\varepsilon))^{O(w)}$项的宽度$w$ DNF实现$\varepsilon$-近似。该结果导致一种更快的确定性算法，用于近似计算DNF的满足赋值比例，当$\varepsilon = 1/\mathrm{poly}(\log n)$时，运行时间为$n^{\tilde{O}(\log\log n)}$，显著优于先前的$n^{\exp(O(\sqrt{=\log\log n}))}$界。

ABSTRACT

Given a DNF formula on n variables, the two natural size measures are the number of terms or size s(f), and the maximum width of a term w(f). It is folklore that short DNF formulas can be made narrow. We prove a converse, showing that narrow formulas can be sparsified. More precisely, any width w DNF irrespective of its size can be $ε$-approximated by a width $w$ DNF with at most $(w\log(1/ε))^{O(w)}$ terms. We combine our sparsification result with the work of Luby and Velikovic to give a faster deterministic algorithm for approximately counting the number of satisfying solutions to a DNF. Given a formula on n variables with poly(n) terms, we give a deterministic $n^{ ilde{O}(\log \log(n))}$ time algorithm that computes an additive $ε$ approximation to the fraction of satisfying assignments of f for $ε= 1/\poly(\log n)$. The previous best result due to Luby and Velickovic from nearly two decades ago had a run-time of $n^{\exp(O(\sqrt{\log \log n}))}$.

研究动机与目标

• 开发一种在保持宽度和近似质量的前提下对DNF公式进行稀疏化的方法。
• 改进用于近似计算DNF公式满足赋值数量的确定性算法的运行时间。
• 证明仅依赖于$w$和$\varepsilon$的宽度$w$ DNF大小的$\varepsilon$-夹逼近似器的存在性。
• 在有界宽度DNF的背景下，为Friedgut的朱塔定理提供一个更强的替代形式。

提出的方法

• 作者基于Rossman（2010）提出的准太阳花概念，使用一种稀疏化过程来构建近似DNF。
• 他们证明了任意宽度$w$的DNF都存在$\varepsilon$-夹逼近似器，且这些近似器本身也是宽度$w$ DNF，其大小最多为$(w\log(1/\varepsilon))^{O(w)}$。
• 该构造利用了关于DNF的结构性结果，使得仅用少量项即可实现高效近似。
• 该方法将此稀疏化结果与Luby和Velikovic（1991, 1996）的框架相结合，设计出一种更快的确定性计数算法。
• 该算法在$\varepsilon = 1/\mathrm{poly}(\log n)$时运行时间为$n^{\tilde{O}(\log\log n)}$，优于先前的$n^{\exp(O(\sqrt{\log\log n}))}$界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将窄DNF公式稀疏化为显著更短的DNF，同时保持近似质量？
• RQ2 是否可以仅使用大小关于$w$和$\log(1/\varepsilon)$的多项式函数的宽度$w$ DNF来构造DNF的$\varepsilon$-夹逼近似器？
• RQ3 能否将DNF的确定性计数算法加速至超过Luby和Velikovic的$n^{\exp(O(\sqrt{\log\log n}))}$运行时间？
• RQ4 对于有界宽度的DNF，Mansour猜想的更强形式是否成立，即稀疏傅里叶近似大小为$2^{O(w\log(1/\varepsilon))}$？

主要发现

• 任意宽度$w$的DNF都存在$\varepsilon$-夹逼近似器，且这些近似器本身也是宽度$w$ DNF，其大小最多为$(w\log(1/\varepsilon))^{O(w)}$。
• 当$\varepsilon = 1/\mathrm{poly}(\log n)$时，确定性DNF计数算法的运行时间为$n^{\tilde{O}(\log\log n)}$，优于先前的$n^{\exp(O(\sqrt{\log\log n}))}$界。
• 每个宽度$w$的DNF都可通过大小为$(w\log(1/\varepsilon))^{O(w)}$的$w$-朱塔实现$\varepsilon$-近似，为有界宽度DNF提供了强有力的朱塔定理。
• 该结果意味着每个在$n$个变量上宽度为$O(\log n)$的DNF，都与大小为$n^{O(\log\log n)}$、宽度为$O(\log n)$的DNF在$n^{-O(1)}$距离内，即近似程度良好。
• 该稀疏化结果在$O(w)$指数部分上是紧致的，且提出了一个猜想，若成立可将界改进为关于$w$的单指数形式。