[论文解读] Fast parallel circuits for the quantum Fourier transform

Richard Cleve, John Watrous|ArXiv.org|Jun 1, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 26被引用 81

一句话总结

本文提出了一种新型量子线路设计用于量子傅里叶变换（QFT），实现了对数深度，将线路深度从 O(n) 降低至 O(log n + log log(1/ε))，以实现误差 ε 的近似。该方法采用混合进制分解与小型 QFT 子线路的并行化，使得秀尔因数分解算法可在 O(log n) 深度内使用多项式规模的量子线路实现，从而将因数分解置于复杂度类 ZPP^BQNC 中。

ABSTRACT

We give new bounds on the circuit complexity of the quantum Fourier transform (QFT). We give an upper bound of O(log n + log log (1/epsilon)) on the circuit depth for computing an approximation of the QFT with respect to the modulus 2^n with error bounded by epsilon. Thus, even for exponentially small error, our circuits have depth O(log n). The best previous depth bound was O(n), even for approximations with constant error. Moreover, our circuits have size O(n log (n/epsilon)). We also give an upper bound of O(n (log n)^2 log log n) on the circuit size of the exact QFT modulo 2^n, for which the best previous bound was O(n^2). As an application of the above depth bound, we show that Shor's factoring algorithm may be based on quantum circuits with depth only O(log n) and polynomial-size, in combination with classical polynomial-time pre- and post-processing. In the language of computational complexity, this implies that factoring is in the complexity class ZPP^BQNC, where BQNC is the class of problems computable with bounded-error probability by quantum circuits with poly-logarithmic depth and polynomial size. Finally, we prove an Omega(log n) lower bound on the depth complexity of approximations of the QFT with constant error. This implies that the above upper bound is asymptotically optimal (for a reasonable range of values of epsilon).

研究动机与目标

• 降低量子傅里叶变换（QFT）的线路深度，以实现高效量子算法。
• 开发可近似 QFT 且误差有界 ε 的并行量子线路。
• 证明秀尔因数分解算法可仅使用多对数深度的量子线路实现。
• 建立 QFT 近似深度复杂度的紧致界。
• 探索在低深度量子线路中实现精确与近似 QFT 的可行性。

提出的方法

• 该方法通过混合进制方法将模 2^n 的 QFT 分解为更小的 QFT，利用中国剩余定理。
• 每个模 m_j 的小型 QFT 通过基塔耶夫近似方法或递归分解计算，支持并行执行。
• 整体线路使用一个变换 C，通过模约减和重组将计算基态映射，实现并行化。
• 关键方程 F_m = C†(F_{m_1} ⊗ ... ⊗ F_{m_k})AC 确保了完整 QFT 与子线路组合之间的酉等价性。
• 通过将每个小型 QFT 及变换算子 C 和 A 并行化，将线路深度最小化至对数深度。
• 通过控制每个子 QFT 中的近似精度，确保误差界得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子傅里叶变换能否使用多对数深度的量子线路实现？
• RQ2 以误差 ε 近似 QFT 所需的最小深度是多少？
• RQ3 秀尔因数分解算法能否仅使用对数深度的量子线路实现？
• RQ4 QFT 近似 O(log n) 深度界是否渐近最优？
• RQ5 精确 QFT 是否能在亚线性深度内实现，还是线性深度不可避免？

主要发现

• 本文建立了模 2^n 的 QFT 近似深度上界为 O(log n + log log(1/ε))，即使 ε 指数小也成立。
• 对于多项式误差 ε = 1/poly(n)，深度保持为 O(log n)，相比先前的 O(n) 上界显著改进。
• 近似 QFT 线路的大小为 O(n log(n/ε))，具有高效性和可扩展性。
• 给出了模 2^n 精确 QFT 的大小上界为 O(n (log n)^2 log log n)，优于先前的 O(n^2) 上界。
• 本文证明了常数误差 QFT 近似深度复杂度的 Ω(log n) 下界，表明 O(log n) 深度上界是渐近最优的。
• 秀尔因数分解算法可使用深度为 O(log n) 且多项式规模的量子线路实现，从而将因数分解置于复杂度类 ZPP^BQNC 中。