[论文解读] Does Quantum Mechanics allow for Infinite Parallelism?

Martin Ziegler|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文研究了量子力学是否能实现无限并行性，将计算能力与物理可实现性分离开来。研究表明，通过图灵机族实现的无限经典并行性可以解决停机问题和希尔伯特第十问题，实现递归可枚举性，但无法解决全总性问题，即使在超计算的背景下该问题仍遥不可及。

ABSTRACT

Recent works have independently suggested that Quantum Mechanics might permit for procedures that transcend the power of Turing Machines as well as of `standard' Quantum Computers. These approaches rely on and indicate that Quantum Mechanics seems to support some infinite variant of classical parallel computing. We compare this new one with other attempts towards hypercomputation by separating 1) its principal computing capabilities from 2) realizability issues. The first are shown to coincide with recursive enumerability; the second are considered in analogy to `existence' in mathematical logic.

研究动机与目标

• 澄清量子力学是否通过无限并行性支持超计算。
• 将无限并行性的核心计算能力与物理可实现性问题分离开来。
• 确定在独立于物理实现的前提下，无限并行计算可判定的问题的确切类别。
• 评估量子力学中的无限并行性是否能超越图灵机的极限。
• 确立计算上可能（通过无限并行性）与仍不可计算之间的界限，例如全总性问题。

提出的方法

• 提出一种使用图灵机族 $(M_k)$（其中 $k \in \mathbb{N}$）的无限并行性形式化模型，每台机器 $M_k$ 解决问题的一个特定实例。
• 定义计算族的四个条件（i–iv）：(i) 对输入产生正确输出，(ii) 在接受时停止，(iii) 运行时间独立于 $k$，(iv) 每台 $M_k$ 可由通用机器有效生成。
• 应用线性加速引理，将每台 $M_k$ 的运行时间减少为与 $k$ 无关的常数，确保在该模型下具有可行性。
• 使用通用图灵机按顺序模拟每台 $M_k$，通过在 $k$ 上进行存在性搜索实现问题的半可判定性。
• 证明在该模型下，任何递归可枚举（半可判定）问题均可被解决，方法是将问题编码为机器族。
• 通过证明全总性问题（一个 $\Pi_2$-完全问题）位于 $\Sigma_1$ 类之外，表明该模型无法解决全总性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子力学中的无限并行性能否解决图灵机无法触及的问题？
• RQ2 通过图灵机族形式化定义的无限经典并行性的精确计算能力是什么？
• RQ3 量子力学中的无限并行性是否优于标准量子计算或经典超计算？
• RQ4 停机问题和希尔伯特第十问题能否通过无限并行性解决，若能，其条件是什么？
• RQ5 无限并行性的界限是什么——具体而言，它能否解决全总性或其他 $\Pi_2$-完全问题？

主要发现

• 通过满足四个条件的可计算图灵机族形式化定义的无限经典并行性，足以解决任何半可判定（递归可枚举）问题。
• 在该模型下，停机问题和希尔伯特第十问题均可被解决，因为它们已知为递归可枚举问题。
• 在应用线性加速引理后，每台机器 $M_k$ 的运行时间恒定，与 $k$ 无关，确保了独立于 $k$ 的可行性。
• 该模型无法解决全总性问题（一个 $\Pi_2$-完全问题），因为全总性问题不是递归可枚举的，且位于 $\Sigma_1$ 类之外。
• 在此模型下，无限并行性的计算能力恰好与递归可枚举性一致，与通过停机问题预言机的通用图灵机可解问题类相同。
• 该无限并行性在量子力学中的物理可实现性仍是开放问题，尽管该模型表明其核心计算能力在经典范围内已可实现。