[论文解读] Domain Walls in 4d N=1 Supersymmetric Yang-Mills

Diego Delmastro, Jaume Gomis|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用 6

一句话总结

本文提出，在4d $σ=1$ SYM（规范群为 $G$）的畴壁上，低能有效理论是3d ${\mathcal{N}}=1$ 超杨–米尔斯理论，其陈–西蒙斯等级为 $k = \frac{1}{2}h - n$，其中 $h$ 为对偶考绍尔数，$n$ 为真空差。该猜想通过等级-秩对偶性和时间反演对称性得到支持，对 $\mathrm{SU}(N)$、$\mathrm{Sp}(N)$、$\mathrm{Spin}(N)$ 和 $G_2$ 给出了明确的对应关系，并为超对称 gauge 理论中的畴壁动力学提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

$4d$ ${\mathcal N}=1$ super Yang-Mills (SYM) with simply connected gauge group $G$ has $h$ gapped vacua arising from the spontaneously broken discrete $R$-symmetry, where $h$ is the dual Coxeter number of $G$. Therefore, the theory admits stable domain walls interpolating between any two vacua, but it is a nonperturbative problem to determine the low energy theory on the domain wall. We put forward an explicit answer to this question for all the domain walls for $G=SU(N),Sp(N), Spin(N)$ and $G_2$, and for the minimal domain wall connecting neighboring vacua for arbitrary $G$. We propose that the domain wall theories support specific nontrivial topological quantum field theories (TQFTs), which include the Chern-Simons theory proposed long ago by Acharya-Vafa for $SU(N)$. We provide nontrivial evidence for our proposals by exactly matching renormalization group invariant partition functions twisted by global symmetries of SYM computed in the ultraviolet with those computed in our proposed infrared TQFTs. A crucial element in this matching is constructing the Hilbert space of spin TQFTs, that is, theories that depend on the spin structure of spacetime and admit fermionic states -- a subject we delve into in some detail.

研究动机与目标

• 确定4d $\mathcal{N}=1$ SYM中在不同真空中间插的3d畴壁上的低能有效场论。
• 解析4d $\mathcal{N}=1$ SYM中畴壁的非微扰动力学，特别是其是否支持拓扑量子场论（TQFT）或无能隙模式。
• 将阿查里亚-法巴的 $\mathrm{SU}(N)$ 提案扩展至其他规范群，包括 $\mathrm{Sp}(N)$、$\mathrm{Spin}(N)$ 和 $G_2$，并利用通用公式统一描述。
• 通过拓扑不变量和指标匹配，检验所提出的畴壁理论与3d ${\mathcal{N}}=1$ SYM在陈-西蒙斯等级 $k = \frac{1}{2}h - n$ 下的对偶性。

提出的方法

• 提出在4d $\mathcal{N}=1$ SYM（规范群为 $G$）中，$n$ 个畴壁理论的红外相是3d ${\mathcal{N}}=1$ SYM，其规范群为 $G$，陈-西蒙斯等级为 $k = \frac{1}{2}h - n$，其中 $h$ 为 $G$ 的对偶考绍尔数。
• 利用等级-秩对偶性和时间反演对称性，关联 $\mathrm{W}_n$ 与 $\mathrm{W}_{h-n}$，确保在 $k \to -k$ 下的一致性。
• 当 $G = \mathrm{SU}(N)$ 时，畴壁理论为 $\mathrm{U}(n)_{N-n,N}$ 陈-西蒙斯理论，与早期阿查里亚-法巴的提案一致。
• 当 $G = \mathrm{Sp}(N)$ 时，理论为 $\mathrm{Sp}(n)_{N+1-n}$ 陈-西蒙斯理论。
• 当 $G = \mathrm{Spin}(N)$ 时，理论为 $\mathrm{O}(n)^{1}_{N-2-n,N-n+1}$ 陈-西蒙斯理论，通过旋量结构和商投影构造。
• 当 $G = G_2$ 时，$n=2$ 的畴壁为 $\mathrm{SO}(3)_3 \times S^1$，$n=1$ 的畴壁被猜想为 $G_{-1}$，与等级-秩对偶性一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在4d $\mathcal{N}=1$ SYM（规范群为 $G$）中，插在两个真空中之间的畴壁上的低能有效理论是什么？
• RQ2 畴壁理论是否支持一个拓扑量子场论（TQFT），如果是，是哪一个？
• RQ3 畴壁理论如何依赖于真空差 $n = a - b \mod h$？其在时间反演对称性下是否一致？
• RQ4 能否通过指标等拓扑不变量，验证所提出的畴壁理论与3d ${\mathcal{N}}=1$ SYM在陈-西蒙斯等级 $k = \frac{1}{2}h - n$ 下的对偶性？
• RQ5 对于例外群如 $E_6$、$E_7$、$E_8$ 和 $F_4$，畴壁理论的结构是什么？其如何受到约束？

主要发现

• 在4d $\mathcal{N}=1$ SYM（规范群为 $G$）中，$n$ 个畴壁理论被猜想为3d ${\mathcal{N}}=1$ SYM的红外相，其规范群为 $G$，陈-西蒙斯等级为 $k = \frac{1}{2}h - n$，为不同规范群提供了统一的描述。
• 当 $G = \mathrm{SU}(N)$ 时，畴壁理论为 $\mathrm{U}(n)_{N-n,N}$ 陈-西蒙斯理论，重现了阿查里亚-法巴的提案。
• 当 $G = \mathrm{Sp}(N)$ 时，畴壁理论为 $\mathrm{Sp}(n)_{N+1-n}$ 陈-西蒙斯理论，将该提案推广至辛群。
• 当 $G = \mathrm{Spin}(N)$ 时，畴壁理论为 $\mathrm{O}(n)^{1}_{N-2-n,N-n+1}$ 陈-西蒙斯理论，通过旋量结构和商投影构造。
• 当 $G = G_2$ 时，$n=2$ 的畴壁为 $\mathrm{SO}(3)_3 \times S^1$，$n=1$ 的畴壁被猜想为 $G_{-1}$，与等级-秩对偶性一致。
• 该猜想通过 $E_6$、$E_7$、$E_8$ 和 $F_4$ 的指标匹配得到支持，包括零形式和一形式对称下的未扭和扭指标，并且 $\mathrm{W}_{h-n} = \overline{\mathrm{W}_n}$ 在时间反演下成立，通过 $k \to -k$ 实现。