[论文解读] Dominance inequalities for scheduling around an unrestrictive common due date

Anne-Elisabeth Falq, Pierre Fouilhoux+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2021

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文提出支配不等式——一种源自插入与交换邻域操作的线性约束——以强化无限制共同截止日期调度问题的紧凑混合整数规划（MIP）公式。通过剪除非局部最优整数解，这些不等式显著减少计算时间，并使150个任务实例在1小时内精确求解，优于以往方法。

ABSTRACT

The problem considered in this work consists in scheduling a set of tasks on a single machine, around an unrestrictive common due date to minimize the weighted sum of earliness and tardiness. This problem can be formulated as a compact mixed integer program (MIP). In this article, we focus on neighborhood-based dominance properties, where the neighborhood is associated to insert and swap operations. We derive from these properties a local search procedure providing a very good heuristic solution. The main contribution of this work stands in an exact solving context: we derive constraints eliminating the non locally optimal solutions with respect to the insert and swap operations. We propose linear inequalities translating these constraints to strengthen the MIP compact formulation. These inequalities, called dominance inequalities, are different from standard reinforcement inequalities. We provide a numerical analysis which shows that adding these inequalities significantly reduces the computation time required for solving the scheduling problem using a standard solver.

研究动机与目标

• 解决具有加权提前与延迟的单机调度问题，且共同截止日期无限制。
• 利用基于邻域的支配性质（插入与交换操作）消除精确MIP公式中的次优整数解。
• 提出一类新型线性不等式——支配不等式——用于剪除非局部最优解，区别于标准强化或对称性破坏剪枝。
• 通过将这些不等式集成到紧凑MIP公式中，提升精确求解器（如CPLEX）的性能。
• 在启发式与精确求解场景中展示支配不等式的有效性。

提出的方法

• 使用分区变量将无限制共同截止日期问题（UCDDP）建模为紧凑混合整数规划（MIP），通过结构支配性质编码主导调度。
• 通过任务序列的插入与交换操作定义基于邻域的支配性质，识别邻域内的局部最优解。
• 推导出数学上表达“解不能被任何插入或交换邻居局部支配”的线性不等式，称为支配不等式。
• 将这些支配不等式集成到MIP公式中，以在分支定界过程中剪除非局部最优整数解。
• 在CPLEX中实现用户剪枝回调，动态分离并添加支配不等式。
• 利用支配不等式强化MIP公式，提升根节点的下界并减少搜索节点数。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于邻域的支配性质（插入与交换）能否转化为剪除MIP公式中非局部最优整数解的线性不等式？
• RQ2 支配不等式与标准强化及对称性破坏不等式相比，在提升MIP求解性能方面表现如何？
• RQ3 支配不等式在多大程度上减少计算时间并实现更大UCDDP实例的求解？
• RQ4 添加支配不等式对线性松弛值及根节点下界产生何种影响？
• RQ5 支配不等式能否在调度问题的启发式与精确求解场景中均有效应用？

主要发现

• 对于200个任务实例，添加支配不等式使平均计算时间减少10.8%，节点数减少37.0%，显著提升求解器效率。
• 该方法使150个任务实例在1小时内实现精确求解——此前标准MIP方法无法实现——表明其具有显著的可扩展性提升。
• 对于50个任务实例，支配不等式的基于分离的实现使计算时间增至1513秒，主因是O(n³)分离过程的高开销，但这是由于回调使用效率低下，而非不等式本身效率低下。
• 当与CPLEX的预处理结合时，支配不等式可提升根节点的下界，但若保持变量连续则无影响，表明其效果与预处理及分支决策密切相关。
• 由支配不等式导出的启发式解优于Biskup & Feldmann (2001a)的方法，对最多200个任务的实例可在20秒内获得解。
• 在420秒内可获得15%间隙的下界，表明支配不等式在提升下界方面具有实用价值。