[论文解读] Double Bicategories and Double Cospans

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 23

一句话总结

本文引入双双范畴作为弱高阶范畴结构，其推广了双范畴与双范畴，通过 Bicat 内的双范畴实现。通过在具有上乘积的范畴中构造双柯普兰，构建了 Verity 双双范畴，其可建模带角的流形并提供完全弱的立方 2-范畴结构，适用于拓扑场论与高维范畴理论。

ABSTRACT

Interest in weak cubical n-categories arises in various contexts, in particular in topological field theories. In this paper, we describe a concept of double bicategory, namely a strict model of the theory of bicategories in Bicat. We show that in a special case one can reduce this to what we call a Verity double bicategory, after Domenic Verity. This is a weakened version of a double category, in the sense that composition in both horizontal and vertical directions satisfy associativity and unit laws only up to (coherent) isomorphisms. We prove that there are examples in the form of double bicategories of "double cospans" (or "double spans") in any category with pushouts (pullbacks, respectively), and give a construction from this which involves taking isomorphism classes of objects, and gives a Verity double bicategory of double cospans. We describe cobordisms with corners as an example of this construction.

研究动机与目标

• 形式化一种弱高阶范畴结构——双双范畴——以同时推广双范畴与双范畴。
• 证明在具有上乘积的范畴中，双柯普兰自然生成 Verity 双双范畴，即完全弱的立方 2-范畴结构。
• 为带角的流形提供严谨的框架，此类流形在拓扑量子场论中至关重要。
• 通过迭代柯普兰将构造推广至高维，暗示通向 n 重双范畴的路径。
• 在内部范畴理论与几何结构（如带角流形）之间建立桥梁。

提出的方法

• 将双双范畴定义为 Bicat（双范畴、函子与伪自然变换的 2-范畴）内的双范畴。
• 引入 Verity 双双范畴作为特殊情况，其中两个方向的复合均为弱复合，且满足模同构的相干性公理。
• 在具有上乘积的范畴中构造双柯普兰，使用指向共同中间对象的态射，将 2-胞态表示为交换正方形。
• 证明双柯普兰的同构类可生成 Verity 双双范畴，保持弱复合与相干性。
• 通过将流形的带边流形建模为双柯普兰，并利用上乘积实现光滑粘合，将该框架应用于带角流形。
• 通过迭代柯普兰将构造推广至 n 维立方体，暗示 k 重双范畴的层级结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一种完全弱的立方 2-范畴结构，使其同时推广双范畴与双范畴？
• RQ2 在具有上乘积的范畴中，双柯普兰能否构成 Verity 双双范畴，且两个方向的复合均为弱复合？
• RQ3 双柯普兰如何在拓扑场论中建模带角的流形？
• RQ4 同构类在从双柯普兰构造良好定义的 Verity 双双范畴中起什么作用？
• RQ5 双柯普兰构造能否被迭代，以生成更高维的弱立方范畴？

主要发现

• 双双范畴被定义为 Bicat 内的双范畴，为弱高阶范畴提供一致的框架。
• Verity 双双范畴是特殊情况，其中水平与垂直复合均为弱复合，且满足模同构的相干性。
• 在具有上乘积的范畴中，双柯普兰构成双双范畴，其复合在同构意义下保持结合律与单位元。
• 双柯普兰的同构类可生成 Verity 双双范畴，确保在等价关系下复合的良定义性。
• 该构造通过带边流形的上乘积建模带角流形，保持光滑结构。
• 迭代柯普兰可生成 n 维立方体，暗示对任意 k ≥ 2，可构造 k 重双范畴的一般方法。