[论文解读] Pseudo Algebras and Pseudo Double Categories

Thomas M. Fiore|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 58被引用 28

一句话总结

本文建立了范畴的2-理论上的伪代数与具有折叠结构的伪双范畴之间的精确范畴等价，表明此类双范畴等价于从范畴 I 到具有严格单位的双范畴的严格2-函子。关键贡献在于一个2-等价关系，揭示了全息（折叠）函子以函子方式编码了水平双范畴的2-细胞结构，从而推广了2-群情形下的交叉模概念。

ABSTRACT

As an example of the categorical apparatus of pseudo algebras over 2-theories, we show that pseudo algebras over the 2-theory of categories can be viewed as pseudo double categories with folding or as appropriate 2-functors into bicategories. Foldings are equivalent to connection pairs, and also to thin structures if the vertical and horizontal morphisms coincide. In a sense, the squares of a double category with folding are determined in a functorial way by the 2-cells of the horizontal 2-category. As a special case, strict 2-algebras with one object and everything invertible are crossed modules under a group.

研究动机与目标

• 形式化范畴的2-理论上的伪代数与具有折叠结构的伪双范畴之间的关系。
• 阐明双范畴中的折叠结构如何对应于全息函子和进入双范畴的2-函子。
• 在伪I-范畴、具有折叠结构的伪双范畴以及具有严格单位的双范畴中的严格2-函子的范畴之间建立2-等价关系。
• 通过双等价关系将等价性推广至弱单位和伪折叠，从而推广严格情形。

提出的方法

• 将范畴I上的2-理论的伪代数定义为从2-理论到范畴I的自同态2-理论的伪态射。
• 引入具有折叠结构的双范畴的概念，其中方块由水平双范畴中的2-细胞通过全息函子确定。
• 构建从具有严格单位的伪双范畴2-范畴到进入具有严格单位的双范畴的严格2-函子 I → C 的2-函子。
• 利用全息函子编码双范畴中水平复合的2-细胞，确保单位和相干性同构的严格保持。
• 通过显式构造逆函子，证明具有严格单位的伪I-范畴与具有折叠结构及严格单位的伪双范畴之间的2-等价性。
• 通过双等价关系将等价性推广至弱单位和伪折叠，其中相干性同构取代了严格交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从具有折叠结构的双范畴结构的角度表征范畴的2-理论上的伪代数？
• RQ2 具有严格单位的双范畴与进入双范畴的2-函子之间存在何种精确关系？
• RQ3 双范畴中的折叠结构如何对应于全息函子和水平双范畴中的2-细胞复合？
• RQ4 在伪I-范畴与伪双范畴之间的等价性中，严格单位与弱单位各自扮演什么角色？
• RQ5 能否通过双等价关系将等价性推广至弱单位和伪折叠？

主要发现

• 具有底范畴 I 的范畴的2-理论上的伪代数，与具有折叠结构和严格单位的伪双范畴（其对象范畴为 I）之间存在2-等价。
• 双范畴中的折叠结构等价于一个全息函子，该函子以函子方式编码了水平双范畴中2-细胞的复合。
• 具有折叠结构和严格单位的伪双范畴2-范畴，与进入具有严格单位的双范畴的严格2-函子 I → C 的2-范畴之间存在2-等价。
• 当 I 为范畴群时，具有严格单位的伪I-范畴与具有折叠结构的伪双范畴以及进入具有严格单位的双范畴的严格2-函子之间存在2-等价。
• 对于弱单位和伪折叠，类似的双等价关系成立，其中相干性同构取代了严格交换性。
• 该等价性在具体情形中得到例证，例如具有同构的环的伪双范畴，以及具有双射的世界面，其中折叠对应于与可逆态射的复合。