[论文解读] Double Hopf bifurcation in delayed reaction-diffusion systems

Yanfei Du, Ben Niu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 28被引用 3

一句话总结

该论文针对具有Neumann边界条件的时滞反应-扩散系统中的余维二双霍普夫分支，开发了一套严格的算法，利用中心流形约化与正规型理论计算其正规型。关键贡献在于识别出十二类不同的展开系统以描述局部动力学，数值验证表明空间非均匀周期轨道共存，且通过环面破裂出现奇异吸引子。

ABSTRACT

Double Hopf bifurcation analysis can be used to reveal some complicated dynamical behavior in a dynamical system, such as the existence or coexistence of periodic orbits, quasi-periodic orbits, or even chaos. In this paper, an algorithm for deriving the normal form near a codimension-two double Hopf bifurcation of a reaction-diffusion system with time delay and Neumann boundary condition is rigorously established, by employing the center manifold reduction technique and the normal form method. We find that the dynamical behavior near bifurcation points are proved to be governed by twelve distinct unfolding systems. Two examples are performed to illustrate our results: for a stage-structured epidemic model, we find that double Hopf bifurcation appears when varying the diffusion rate and time delay, and two stable spatially inhomogeneous periodic oscillations are proved to coexist near the bifurcation point; in a diffusive predator-prey system, we theoretically proved that quasi-periodic orbits exist on two- or three-torus near a double Hopf bifurcation point, which will break down after slight perturbation, leaving the system a strange attractor.

研究动机与目标

• 建立一种系统算法，用于计算具有Neumann边界条件的时滞反应-扩散系统在双霍普夫分支附近的正规型。
• 将分支点附近的局部动力学行为分类为十二类不同的展开系统。
• 通过两个生物模型（阶段结构流行病模型与扩散捕食者-猎物系统）展示该方法的适用性。
• 证明在模型中存在空间非均匀周期振荡与2-和3-环面上的拟周期轨道共存。
• 表明3-环面的破裂可导致奇异吸引子的出现，暗示混沌行为。

提出的方法

• 应用中心流形约化，将无限维的时滞反应-扩散系统在分支点附近约化为有限维系统。
• 采用正规型方法推导展开系统的显式表达式，利用非线性变换简化动力学。
• 使用正交傅里叶基分解计算正规型中的关键参数，特别是决定分支方向与稳定性的参数。
• 推导出临界正规型系数 $ B_{11}, B_{21}, B_{13}, B_{23}, B_{2100}, B_{1011}, B_{0021}, B_{1110} $ 以及参数 $ \epsilon_1, \epsilon_2, b_0, c_0, d_0 $ 的公式。
• 根据正规型系数的符号与取值以及行列式 $ d_0 - b_0 c_0 $，将展开系统分类为十二类之一。
• 通过庞加莱截面进行数值模拟，可视化2-和3-环面上的拟周期解，以及奇异吸引子的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有Neumann边界条件的时滞反应-扩散系统中，余维二双霍普夫分支附近的完整正规型结构是什么？
• RQ2 此类分支会产生多少类不同的动力学展开系统，其定性行为如何？
• RQ3 所推导的算法能否预测在真实模型中多个周期或拟周期解的共存？
• RQ4 当参数穿过双霍普夫点时，会发生哪些动力学转变，特别是关于环面的形成与破裂？
• RQ5 该方法能否检测到3-环面消失后奇异吸引子的出现，从而揭示混沌动力学？

主要发现

• 双霍普夫分支点HH位于 $ r_1 = 0.6739271475 $, $ \tau = 10.4238045 $，其中 $ \omega_0^+ = 0.77444 $, $ \omega_0^- = 0.362170 $。
• 由于 $ \epsilon_1 = -1 $, $ \epsilon_2 = 1 $, 且 $ d_0 - b_0 c_0 = 0.336547 $，展开系统被分类为VIa型。
• 在HH附近，当 $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.69 $ 时，存在一个2-环面上的拟周期解，如图6(a)所示。
• 当 $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.71 $ 时，出现一个3-环面上的拟周期解，如图6(b)所示。
• 当 $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.726 $ 时，系统表现出奇异吸引子与混沌行为，Poincaré映射如图6(c)所示，证实了该现象。
• 从3-环面到奇异吸引子的转变支持了Ruelle-Takens-Newhouse混沌起源场景。