[论文解读] Hopf-zero bifurcation and the normal forms in reaction-diffusion systems with time delays

Qi An, Weihua Jiang|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文为具有时滞的两组分反应-扩散系统中的正规型推导出一种显式且可计算的公式，重点研究霍普夫-零奇点分支。通过将该方法应用于图灵-霍普夫分支，识别出可能的吸引子——空间非均匀稳态、周期解和准周期解，从而实现对临界分支点附近复杂时空动力学的系统性分析。

ABSTRACT

We study the Hopf-zero bifurcation and give a simple and explicit calculation formula of the normal forms for a general two-components system of reaction- diffusion equation with time delays. We declare that our formula can be applied to computer programming calculation. Firstly, we extend the normal forms method to Hopf-zero singularity and give an abstract expression of the normal forms as simple as possible. Secondly, we choose Turing-Hopf bifurcation, which is one of the most interesting types of the Hopf-zero bifurcation, to demonstrate the concrete algorithm and give the explicit formula. Finally, we obtain the possible attractors of the original reaction diffusion system with delays near the Turing-Hopf singularity by the further analysis of the normal forms. The possible attractors mainly include, the spatially non-homogeneous steady-state solutions, periodic solutions and quasi-periodic solutions.

研究动机与目标

• 将正规型方法扩展至具有时滞的反应-扩散系统中的霍普夫-零奇点。
• 推导出一种简单且显式的正规型公式，适用于计算机编程。
• 利用所推导的正规型分析图灵-霍普夫分支附近复杂时空模式的出现。
• 识别原始系统在霍普夫-零奇点附近的可能吸引子——稳态、周期和准周期解。

提出的方法

• 为具有一般时滞的两组分反应-扩散系统推导出正规型的抽象简化表达式。
• 将该方法专门应用于图灵-霍普夫分支情形，以展示具体的计算算法。
• 利用中心流形约化和多尺度分析进行正规型计算，以处理时滞影响。
• 对所得正规型进行分析，以确定原始系统在分支点附近的定性行为。
• 该方法设计为可在数值软件中实现，确保实际可应用性。
• 对正规型动力学的理论分析揭示了原始系统中可能存在的吸引子类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将正规型方法适配于具有时滞的反应-扩散系统中的霍普夫-零分支？
• RQ2 在这些系统中，可以推导出何种显式且计算上可行的正规型公式？
• RQ3 在延迟反应-扩散系统中，图灵-霍普夫分支附近会出现哪些类型的时空吸引子？
• RQ4 时滞如何影响这些系统中的分支结构和动力学行为？
• RQ5 正规型动力学与原始系统中吸引子之间存在何种关系？

主要发现

• 推导出适用于算法实现的显式且可计算的两组分反应-扩散系统时滞正规型公式。
• 该方法成功捕捉了霍普夫-零奇点附近的动力学，特别是在图灵-霍普夫分支背景下。
• 空间非均匀稳态解作为分支点附近的可能吸引子出现。
• 由于霍普夫分支分量的存在，识别出周期解作为潜在吸引子。
• 准周期解源于霍普夫与图灵分支的相互作用，表明存在复杂的振荡行为。
• 正规型分析实现了对原始系统在临界奇点附近长期动力学可能类型的系统分类。