[论文解读] Doubling Constructions and Tensor Product $L$-Functions: coverings of the symplectic group

Eyal Kaplan|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 120被引用 15

一句话总结

本文通过将加倍法推广至任意秩扭变，为一个 m 重覆盖的辛群 Sp_{2n} 上的真正不可约 cuspidal 自守表示 π 与一个 GL_k 的覆盖上的表示 τ 的部分 L-函数建立了积分表示。关键贡献在于一个全局恒等式，该恒等式产生一种‘近乎欧拉乘积’结构，并显式计算了未分歧数据下的局部积分，从而实现了局部因子的解析定义，并为向一般线性群的广义 Shimura 型提升奠定了基础。

ABSTRACT

In this work we develop an integral representation for the partial $L$-function of a pair $π imesτ$ of genuine irreducible cuspidal automorphic representations, $π$ of the $m$-fold covering of Matsumoto of the symplectic group $Sp_{2n}$, and $τ$ of a certain covering group of $GL_k$, with arbitrary $m$, $n$ and $k$. Our construction is based on the recent extension by Cai, Friedberg, Ginzburg and the author, of the classical doubling method of Piatetski-Shapiro and Rallis, from rank-$1$ twists to arbitrary rank twists. We prove a basic global identity for the integral and compute the local integrals with unramified data. Possible applications include an analytic definition of local factors for representations of covering groups, and a Shimura type lift of representations from covering groups to general linear groups.

研究动机与目标

• 将经典的加倍法推广至覆盖群的任意秩扭变，超越经典的秩 1 情况。
• 为一对表示 (π × τ) 的部分 L-函数构造积分表示，其中 π 是 m 重覆盖的 Sp_{2n} 上的真正 cuspidal 表示，τ 是 GL_k 的覆盖上的表示。
• 证明积分的全局恒等式，该恒等式产生一种‘近乎欧拉乘积’结构，结合未分歧局部积分与在分歧位置上的有限积分。
• 在数据为未分歧时显式计算局部积分，为局部 L-因子的定义提供基础。
• 为通过积分表示与逆定理框架，从覆盖群到一般线性群的广义 Shimura 型提升奠定基础。

提出的方法

• 将 Piatetski-Shapiro 与 Rallis 的经典加倍法推广至 m 重覆盖的辛群与一般线性群，使用广义 Speh 表示作为诱导数据。
• 在 Eisenstein 系列中应用额外的傅里叶系数，以访问标准 L-函数之外的张量积 L-函数。
• 在局部覆盖群 H(A) 上使用全局 2-上循环结构，通过如 η× 和 η♢_d 这类 1-上链显式定义分裂。
• 使用未分歧的诱导系列表示 IG^{(m)}(ϑ,μ) 和 IGL^{(m,r)}_d(ϑ,χ) 来建模局部分量并计算 Whittaker 泛函。
• 引入 (rk,c) 函数 Λ[S]，并利用覆盖群的 Casselman–Shalika 公式计算 Whittaker 函数在环面元素上的取值。
• 应用逆定理框架将全局积分与自守 L-函数关联，目标是建立函子性提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将加倍法扩展至更高秩覆盖群上真正 cuspidal 表示的张量积 L-函数计算？
• RQ2 当 π 位于 Sp_{2n} 的覆盖上且 τ 位于 GL_k 的覆盖上时，L(s, π × τ) 的全局积分具有何种结构？
• RQ3 在未分歧位置，局部积分的显式形式是什么？它们在全局设置下如何分解？
• RQ4 该积分表示能否用于定义覆盖群表示的局部 γ-、L- 和 ϵ-因子？
• RQ5 该构造是否支持通过逆定理框架，从覆盖群到一般线性群的广义 Shimura 型提升？

主要发现

• 全局积分满足一个基本恒等式，该恒等式可分解为未分歧位置上的局部积分的无穷乘积与分歧或阿基米德位置上的有限积分之和。
• 利用覆盖群的 Casselman–Shalika 公式，显式计算了未分歧数据下的局部积分，得到涉及 Satake 参数与高斯和的表达式。
• 证明了未分歧 L-因子 Lϑπ,ϑτ(s, π × τ) 与标准欧拉乘积形式一致，其系数由表示的 Satake 参数决定。
• 该构造为真正表示的覆盖群局部因子（γ, L, ϵ）提供了定义框架，后续工作已进一步发展此方法。
• 该方法支持一种从覆盖群到一般线性群的潜在函子性提升，且在 m=2 情况下，可能独立于迹公式恢复 Shimura 提升。
• 通过使用 (rk,c) 函数与 Whittaker 模型，可在覆盖群设定下系统地计算傅里叶系数与函数方程。