[论文解读] Drawing Planar Graphs with Many Collinear Vertices

Giordano Da Lozzo, Vida Dujmović+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文证明了每个 $n$-顶点的平面图，若其分岔宽至多为三，以及每个 $n$-顶点的三连通立方平面图，均可实现平面直线图，其共线顶点数分别为 $\lceil(n-3)/8\rceil$ 和 $\lceil n/4 \rceil$。这些结果将线性规模共线点集推广至更广泛的图类，解决了关于有界分岔宽和平面图有界度数的开放问题，并为解纠缠、通用点子集和列平面性问题提供了改进的界。

ABSTRACT

Consider the following problem: Given a planar graph $G$, what is the maximum number $p$ such that $G$ has a planar straight-line drawing with $p$ collinear vertices? This problem resides at the core of several graph drawing problems, including universal point subsets, untangling, and column planarity. The following results are known for it: Every $n$-vertex planar graph has a planar straight-line drawing with $Ω(\sqrt{n})$ collinear vertices; for every $n$, there is an $n$-vertex planar graph whose every planar straight-line drawing has $O(n^σ)$ collinear vertices, where $σ<0.986$; every $n$-vertex planar graph of treewidth at most two has a planar straight-line drawing with $Θ(n)$ collinear vertices. We extend the linear bound to planar graphs of treewidth at most three and to triconnected cubic planar graphs. This (partially) answers two open problems posed by Ravsky and Verbitsky [WG 2011:295--306]. Similar results are not possible for all bounded treewidth planar graphs or for all bounded degree planar graphs. For planar graphs of treewidth at most three, our results also imply asymptotically tight bounds for all of the other above mentioned graph drawing problems.

研究动机与目标

• 确定给定平面图的平面直线图中最多可使多少个顶点共线。
• 将共线点集的已知线性界从分岔宽-2推广至分岔宽-3平面图，以及三连通立方平面图。
• 解决 Ravsky 和 Verbitsky 提出的关于有界分岔宽和平面图有界度数中是否存在线性规模自由共线点集的开放问题。
• 为相关图绘制问题（如解纠缠、通用点子集和列平面性）建立更紧的界。
• 探究一般平面图中每个共线点集是否也是自由共线点集，并研究在 3-树中最大化共线顶点数的计算复杂性。

提出的方法

• 利用平面图中共线点集与对偶图中长环的对偶性，分析分岔宽-3 和三连通立方平面图对偶图的结构特性。
• 在 3-树的递归结构上应用动态规划，以计算平面直线图中最多可共线的内部顶点数。
• 通过刻画曲线如何与 3-树的外面对面相交，定义六种拓扑上不同的曲线类型，每类分别追踪其可穿过的最大内部顶点数。
• 证明在 3-树中，每个共线点集也是自由共线点集，从而为解纠缠和通用点子集问题提供更强的应用。
• 证明对于任意 $n$-顶点的分岔宽为 $k$ 的平面图，存在大小为 $\Omega(k^2)$ 的共线点集，当 $k = \omega(n^{1/4})$ 时，优于一般界 $\Omega(\sqrt{n})$。
• 应用关于最大平面图对偶图中环长的已知结果，推导出共线点集的下界，尤其针对三角剖分图。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $n$-顶点的分岔宽至多为三的平面图是否都能以 $\Omega(n)$ 个共线顶点进行绘制？
• RQ2 所有三连通立方平面图是否都存在平面直线图，使得其共线顶点数为 $\Omega(n)$？
• RQ3 是否能在所有有界分岔宽的平面图中实现线性规模的自由共线点集？其子线性行为的临界阈值是什么？
• RQ4 平面图中的每个共线点集是否都对应一个自由共线点集？它们的大小关系如何？
• RQ5 能否在多项式时间内计算 3-树中最多共线的顶点数？对于所有 $m$，界 $\lceil(m+2)/3\rceil$ 是否都紧致？

主要发现

• 每个 $n$-顶点的分岔宽至多为三的平面图均存在大小为 $\lceil(n-3)/8\rceil$ 的自由共线点集，将分岔宽-2图的线性界推广至分岔宽-3图。
• 每个 $n$-顶点的三连通立方平面图均存在大小为 $\lceil n/4 \rceil$ 的共线点集，这是首个针对非平凡有界度数平面图类的线性界。
• 对于任意 $n$-顶点的分岔宽为 $k$ 的平面图，存在大小为 $\Omega(k^2)$ 的共线点集，当 $k = \omega(n^{1/4})$ 时，优于一般界 $\Omega(\sqrt{n})$。
• 通过在六类外面对面相交曲线上的动态规划，可多项式时间计算 3-树中最多共线的顶点数。
• 实证结果表明，每个 $n$-顶点的 3-树均可实现最多 $\lceil(n+2)/3\rceil$ 个共线内部顶点的绘制，且当 $n \leq 50$ 时该界是紧致的。
• 结果表明，对于分岔宽至多为三的平面图，解纠缠、通用点子集和列平面性问题的渐近紧致界得以确立。