[论文解读] Drinfeld-Hecke algebras over cocommutative algebras

Apoorva Khare|arXiv (Cornell University)|May 15, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文引入了一类由余交换代数 A 和对称代数 Sym(V) 构成的 smash 乘积代数的形变，其中 V 是 A-模。它刻画了‘群状’代数（如群环和 nilCoxeter 代数）的 PBW 性质与雅可比恒等式，并在 A 为霍普夫代数时识别出既是 PBW 形变又是霍普夫代数的形变。

ABSTRACT

If A is a cocommutative algebra with coproduct, then so is the smash product algebra of a symmetric algebra Sym(V) with A, where V is an A-module. Such smash product algebras, with A a group ring or a Lie algebra, have families of deformations that have been studied widely in the literature; examples include symplectic reflection algebras and infinitesimal Hecke algebras. We introduce a family of deformations of these smash product algebras for general A, and characterize the PBW property. We then characterize the Jacobi identity for "grouplike" algebras (that include group rings and the nilCoxeter algebra), and precisely identify the PBW deformations in the example where A is the nilCoxeter algebra. We end with the more prominent case - where A is a Hopf algebra. We show the equivalence of several versions of the "deformed" relations in the smash product, and identify the PBW deformations which are Hopf algebras as well.

研究动机与目标

• 将已知的对称代数 smash 乘积的形变（如辛反射代数和无穷小赫克代数）推广至任意余交换代数 A。
• 在一般余交换代数 A 的背景下，刻画 Sym(V)#A 的形变中 PBW 性质的特征。
• 识别在何种条件下，形变关系满足雅可比恒等式，特别是针对‘群状’代数（包括群环和 nilCoxeter 代数）。
• 确定当 A 为霍普夫代数时，PBW 形变的 smash 乘积代数何时自身也是霍普夫代数。
• 统一并比较 smash 乘积代数中不同形式的形变关系，建立其在霍普夫代数结构下的等价性。

提出的方法

• 构造了当 A 为余交换代数且 V 为 A-模时，Sym(V)#A 的形变。
• 应用 PBW 准则，刻画形变是否在形变代数中保持 Poincaré-Birkhoff-Witt 型基。
• 在‘群状’代数的情形下，利用 A 的余乘法结构分析形变关系的雅可比恒等式。
• 以 nilCoxeter 代数为关键例子，精确识别满足雅可比恒等式的 PBW 形变。
• 当 A 为霍普夫代数时，建立 smash 代数中多个形变关系版本之间的等价性。
• 识别出 PBW 形变代数继承霍普夫代数结构的条件，利用 A 的余交换性与余乘法相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，smash 乘积代数 Sym(V)#A 的形变具有 Poincaré-Birkhoff-Witt 性质？
• RQ2 对于哪些余交换代数 A 的类——特别是‘群状’类——形变关系满足雅可比恒等式？
• RQ3 当 A 为 nilCoxeter 代数时，如何显式刻画 Sym(V)#A 的 PBW 形变？
• RQ4 当 A 为霍普夫代数时，PBW 形变的 smash 乘积代数在何种条件下自身也是霍普夫代数？
• RQ5 smash 代数中不同形式的形变关系之间有何关联？在何种条件下它们等价？

主要发现

• 本文为当 A 为余交换代数时，smash 乘积代数 Sym(V)#A 的 PBW 形变提供了普遍的刻画。
• 它精确识别了在‘群状’代数（包括群环和 nilCoxeter 代数）情形下，形变关系满足雅可比恒等式的条件。
• 当 A 为 nilCoxeter 代数时，本文显式识别出满足雅可比恒等式的 PBW 形变。
• 当 A 为霍普夫代数时，本文建立了 smash 代数中多个形变关系版本之间的等价性。
• 本文刻画了自身为霍普夫代数的 PBW 形变代数，为霍普夫代数情形提供了结构分类。
• 结果将已知的辛反射代数和无穷小赫克代数等例子推广到了更广泛的余交换基代数类。