[论文解读] Drinfeld modular forms of arbitrary rank, Part I: Analytic Theory

Dirk Basson, Florian Breuer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 13

一句话总结

本文为任意秩 $ r \geq 1 $ 的德林费尔德模形式建立了分析基础，引入了弱模形式的 $ u $-展开式，并通过秩为 $ r-1 $ 的弱模形式的系数来定义在无穷远处的全纯性。其核心贡献是一个关于在无穷远处全纯性的精确判别准则，使得高阶秩下德林费尔德模形式的定义成为可能，并为后续部分中的有限维性结果和代数几何识别奠定了基础。

ABSTRACT

This is the first of a series of articles providing a foundation for the theory of Drinfeld modular forms of arbitrary rank r. In the present part, we develop the analytic theory. Most of the work goes into defining and studying the u-expansion of a weak Drinfeld modular form, whose coefficients are weak Drinfeld modular forms of rank r-1. Based on that we give a precise definition of when a weak Drinfeld modular form is holomorphic at infinity and thus a Drinfeld modular form in the proper sense.

研究动机与目标

• 发展任意秩 $ r \geq 1 $ 的德林费尔德模形式的分析理论，将秩 2 的理论推广至更高秩。
• 定义并研究弱德林费尔德模形式的 $ u $-展开式，其中系数为秩 $ r-1 $ 的弱模形式。
• 建立在无穷远处全纯性的精确分析判别准则，以区分德林费尔德模形式与弱模形式。
• 为后续工作中将解析模形式与紧化模空间上可逆层的截面进行代数几何识别奠定基础。
• 解决高阶秩情形下的微妙问题：与西格尔模形式不同，在无穷远处的全纯性在高阶秩下并非自动成立。

提出的方法

• 将弱德林费尔德模形式定义为在德林费尔德周期域 $ \Omega^r $ 上全纯且在 $ \mathrm{GL}_r(F) $ 的算术子群 $ \Gamma $ 作用下变换的函数。
• 利用标准边界分量附近的坐标系，引入弱模形式的 $ u $-展开式，其系数取值于秩 $ r-1 $ 的弱模形式。
• 通过要求 $ u $-展开式仅包含 $ u $ 的非负幂次来刻画在无穷远处的全纯性，从而保证模形式空间的有限维性。
• 利用 $ \Omega^r $ 的刚性分析结构以及 $ \mathbb{C}_\infty $ 的强离散子群相关的指数函数，分析收敛性与变换性质。
• 证明在无穷远处的全纯性等价于负幂次 $ u $-展开系数的消失，利用边界分量结构与 $ \mathrm{GL}_r(F) $-平移的性质。
• 建立模形式在 $ \mathrm{GL}_r(F) $ 作用下的变换律与不变性，包括 $ \delta \in \mathrm{GL}_r(F) $ 对模形式的右作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在德林费尔德模形式的背景下，如何将无穷远处全纯性的概念从秩 2 推广至任意秩 $ r \geq 3 $？
• RQ2 在高阶秩下，弱德林费尔德模形式的 $ u $-展开式的精确分析结构是什么？其系数如何与低秩模形式相关？
• RQ3 为何在高阶秩德林费尔德模形式中，无穷远处的条件对于模形式空间的有限维性是必要的，即使模空间是仿射的？
• RQ4 模形式的 $ u $-展开式如何与德林费尔德模的模空间的代数几何紧化相关联？
• RQ5 在什么条件下，一个弱模形式实际上是德林费尔德模形式，即在无穷远处全纯？

主要发现

• 弱德林费尔德模形式的 $ u $-展开式其系数为秩 $ r-1 $ 的弱模形式，从而在不同秩之间建立了递归结构。
• 当且仅当弱模形式的 $ u $-展开式仅包含 $ u $ 的非负幂次时，其在无穷远处全纯，这定义了德林费尔德模形式的空间。
• 对于 $ r \geq 3 $，权重为 $ k $ 的模形式的 $ u $-展开式中系数 $ f_n $ 为权重 $ k - n $ 的弱模形式；当 $ r-1 \geq 2 $ 时，负权重的此类形式恒为零。
• 给定水平与权重的模形式空间是有限维的，这是全纯性条件与模空间紧化共同作用的结果。
• 存在非零模形式的权重 $ k $ 必须满足 $ k \equiv rm \pmod{q-1} $，若 $ m \not\equiv 0 \pmod{q-1} $，则所有此类形式均为尖点形式。
• 模形式环 $ \mathcal{M}_*(\Gamma) $ 按权重分次，两个权重分别为 $ k, k' $ 的模形式的乘积为权重 $ k + k' $ 的模形式。