[论文解读] Drinfeld modular forms of arbitrary rank, Part II: Comparison with Algebraic Theory

Dirk Basson, Florian Breuer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Rings, Modules, and Algebras被引用 11

一句话总结

本文通过德林费尔德模空间的萨塔克紧化，建立了任意秩下解析德林费尔德模形式与代数模形式之间的同构，证明了任意算术同余子群与整数权下模形式空间的有限维性。该结果统一了正特征模形式理论中的解析与代数理论。

ABSTRACT

This is the second of a series of articles providing a foundation for the theory of Drinfeld modular forms of arbitrary rank. In the present part, we compare the analytic theory with the algebraic one that was begun in a paper of the third author. For any arithmetic congruence subgroup and any integral weight we establish an isomorphism between the space of analytic modular forms with the space of algebraic modular forms defined in terms of the Satake compactification. From this we deduce the important result that this space is finite dimensional.

研究动机与目标

• 在任意秩下，建立解析德林费尔德模形式与代数模形式之间的精确对应关系。
• 弥合德林费尔德模形式理论中解析构造与代数几何之间的基础性鸿沟。
• 利用萨塔克紧化，证明固定水平与权的模形式空间是有限维的。
• 将理论扩展至秩 2 以上，将戈斯论文中的结果推广至任意秩 r ≥ 2。
• 在代数模空间背景下，定义并研究解析模形式上的 Hecke 算子。

提出的方法

• 在刚性解析德林费尔德周期域 Ω^r 上构造德林费尔德模的普遍族，并将其延拓至包含边界分量的更大定义域上的广义德林费尔德模。
• 利用模空间 M 的萨塔克紧化，将线丛 L 延拓至紧化空间 M̄，从而实现对解析模形式的代数化。
• 通过无穷远处的全纯性条件，将权为 k 的解析德林费尔德模形式与紧化模空间 M̄ 上 L^k 的全局截面相等同。
• 利用 M̄ 的射影性，证明模形式空间同构于 H⁰(M̄, L^k)，并由此推导出有限维性。
• 通过 GL_r(F) 中的双陪集定义解析模形式上的 Hecke 算子，证明其与代数 Hecke 作用的相容性。
• 证明代数 Hecke 算子 T_h 可分解为一系列解析 Hecke 算子 T_δ 的和，再通过域扩张上的迹映射实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对任意秩下的解析德林费尔德模形式进行代数刻画？
• RQ2 解析模形式空间与萨塔克紧化上截面的代数空间之间的确切关系是什么？
• RQ3 在更高秩下，固定水平与权的德林费尔德模形式空间是否仍保持有限维？
• RQ4 解析侧的 Hecke 算子与模空间上代数对应物之间有何关系？
• RQ5 萨塔克紧化能否用于代数化德林费尔德模形式在无穷远处的全纯性条件？

主要发现

• 对于任意算术同余子群 Γ，权为 k 的解析德林费尔德模形式空间，同构于紧化模空间 M̄ 上的全局截面空间 H⁰(M̄, L^k)，其中 M̄ 是模空间 M 的萨塔克紧化。
• 由于 M̄ 的射影性与 L^k 的凝聚性，固定水平与权的模形式空间的有限维性得以成立。
• 对于固定 Γ 的模形式的分次环是一个在 C_∞ 上有限生成的正常整环。
• 通过 GL_r(F) 中的双陪集，解析模形式上的 Hecke 算子被良好定义，其作用在域扩张上的迹映射后，与代数 Hecke 作用相容。
• 当模空间分量的定义域扩展时，代数 Hecke 算子 T_h 可分解为一系列解析 Hecke 算子 T_δ 的和，再通过迹映射实现。
• 该理论统一了分析与代数方法，将戈斯在秩 2 的结果推广至任意秩 r ≥ 2。