[论文解读] Dual-Primal Isogeometric Tearing and Interconnecting Solvers for large-scale systems of multipatch continuous Galerkin IgA equations

Christoph Hofer, Ulrich Langer|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 26被引用 4

一句话总结

该论文将等几何法中的界面耦合对偶-对偶多子域法（IETI-DP）扩展至具有非均匀几何映射的大规模、多patch连续伽辽金等几何分析（IgA）问题。在patch界面处满足C0连续性条件下，证明了刚度缩放预条件子的对数多对数条件数上界，并通过2D和3D问题在不同多项式阶次和系数跳跃情况下的数值实验验证了其鲁棒性。

ABSTRACT

The dual-primal isogeometric tearing and interconnecting (IETI-DP) method is the adaption of the dual-primal finite element tearing and interconnecting (FETI-DP) method to isogeometric analysis of scalar elliptic boundary value problems like, e.g., diffusion problems with heterogeneous diffusion coefficients. The purpose of this paper is to extent the already existing results on condition number estimates to multi-patch domains, which consist of different geometrical mappings for each patch. Another purpose is to prove a polylogarithmic condition number bound for the preconditioned system with stiffness scaling in case of $C^0$ smoothness across patch interfaces. Numerical experiments validate the presented theory.

研究动机与目标

• 将现有BDDC预条件子在IgA中的条件数估计扩展至具有各patch独立几何映射的多子域问题。
• 在patch界面处满足C0连续性条件下，通过刚度缩放推导IETI-DP方法的对数多对数条件数上界。
• 通过2D和3D问题在不同多项式阶次和异质扩散系数下的数值实验验证理论结果。
• 展示在patch界面处存在跳跃扩散系数时，IETI-DP方法结合刚度缩放的鲁棒性。

提出的方法

• 通过利用B样条和NURBS基函数实现弱配合同构伽辽金离散化，将FETI-DP框架适配至等几何分析（IgA）。
• 通过几何剖分将区域划分为互不重叠的子域，每个子域通过独立的几何映射从参数域映射得到。
• 采用对偶-对偶方法，基于顶点值和边平均值设置主约束，以在子域界面处强制连续性。
• 在Schur补系统中使用刚度缩放以改善条件数上界，实现对H/h的对数多对数依赖性。
• 对子域求解器采用局部稀疏LU分解，对全局界面问题采用迭代Krylov求解器（PCG）。
• 使用G+SMO库实现该方法，局部求解采用Eigen的稀疏LU分解，性能通过运行时间（墙钟时间）和迭代次数进行衡量。

实验结果

研究问题

• RQ1 IETI-DP的条件数上界能否扩展至具有各patch独立几何映射的多patch IgA域？
• RQ2 在patch界面处满足C0连续性条件下，刚度缩放是否能为IETI-DP方法提供对数多对数条件数上界？
• RQ3 在多patch IgA问题中，条件数和迭代次数如何随网格细化（H/h）和多项式阶次变化？
• RQ4 在patch界面处存在跳跃扩散系数时，IETI-DP方法结合刚度缩放是否具有鲁棒性？
• RQ5 在2D和3D设置下，随着自由度增加，IETI-DP方法的计算性能和可扩展性如何？

主要发现

• 结合刚度缩放的IETI-DP方法在C0连续的多patch IgA问题中实现了O(log²(H/h))的对数多对数条件数上界。
• 对于具有均匀扩散系数的2D问题，即使在多项式阶次为10时，条件数仍低于3.5，且迭代次数稳定在11–15之间。
• 该方法对跳跃扩散系数表现出鲁棒性，无论系数比例如何变化，条件数和迭代次数均保持较低水平。
• 数值实验表明，条件数随多项式阶次增加缓慢上升，在2D中阶次为10时仍低于3.5，在3D中低于4.0。
• 性能分析表明，约90%的运行时间用于局部矩阵组装和LU分解，表明在3D中需采用不精确求解器。
• 该方法在实践中表现出良好可扩展性，条件数和迭代次数随问题规模增长缓慢，与理论预测一致。