[论文解读] Dualising complexes and twisted Hochschild (co)homology for noetherian Hopf algebras

Kenneth A. Brown, James J. Zhang|ArXiv.org|Mar 31, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 7

一句话总结

该论文证明了诺特性 AS-戈伦斯坦霍普夫代数 admits 一个刚性对偶复形，其同构于代数的扭曲平移，其中扭曲由 Nakayama 自同态 $\nu = S^2\xi$ 控制，$S$ 为反极，$\xi$ 为来自左积分的左缠绕自同态。关键结果为扭曲 Poincaré 对偶性：$H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A,{}^{\nu}M)$，在上维数 $d$ 处同调与上同调均非零，将经典对偶性推广至非交换设定。

ABSTRACT

We show that many noetherian Hopf algebras A have a rigid dualising complex R with R isomorphic to ^νA^1 [d]. Here, d is the injective dimension of the algebra and νis a certain k-algebra automorphism of A, unique up to an inner automorphism. In honour of the finite dimensional theory which is hereby generalised we call νthe Nakayama automorphism of A. We prove that ν= S^2\XXi, where S is the antipode of A and \XXi is the left winding automorphism of A determined by the left integral of A. The Hochschild homology and cohomology groups with coefficients in a suitably twisted free bimodule are shown to be non-zero in the top dimension d, when A is an Artin-Schelter regular noetherian Hopf algebra of global dimension d. (Twisted) Poincare duality holds in this setting, as is deduced from a theorem of Van den Bergh. Calculating νfor A using also the opposite coalgebra structure, we determine a formula for S^4 generalising a 1976 formula of Radford for A finite dimensional. Applications of the results to the cases where A is PI, an enveloping algebra, a quantum group, a quantised function algebra and a group algebra are outlined.

研究动机与目标

• 通过引入扭曲系数，解决量子函数代数 Hochschild 上同调中的“维数下降”现象。
• 通过对偶复形，将经典 Nakayama 自同态从 Frobenius 代数推广至诺特性霍普夫代数。
• 利用 Van den Bergh 的对偶性定理，为 Artin-Schelter 正则霍普夫代数建立扭曲 Poincaré 对偶性。
• 显式计算多种霍普夫代数类（包括量子群和群代数）的 Nakayama 自同态 $\nu = S^2\xi$。
• 推导 $S^4$ 的一般公式，以伴随迹表示，推广 Radford 于 1976 年对有限维霍普夫代数的结果。

提出的方法

• 利用整体维数 $d$ 和 $k$-代数自同态 $\nu$，为诺特性 AS-戈伦斯坦霍普夫代数构造刚性对偶复形 $R \cong {}^{\nu}A^1[d]$。
• 将 Nakayama 自同态 $\nu$ 定义为 $S^2\xi$，其中 $S$ 为反极，$\xi$ 为来自左积分 $\int^l_A \cong \mathrm{Ext}^d_A({}_A k, {}_A A)$ 的左缠绕自同态。
• 利用 Van den Bergh 的对偶性定理推导扭曲 Poincaré 对偶性：$H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A,{}^{\nu}M)$，当 $A$ 为整体维数 $d$ 的 AS-正则代数时成立。
• 显式计算关键类别的 $\nu$：PI 代数、包络代数、量子群、量子函数代数及群代数。
• 对于多项式循环群 $G$ 的群代数 $kG$，定义伴随迹 $\mathrm{T}_k(g) = \prod_i \det(\tilde{g}_i)$，并证明 $\nu(g) = \mathrm{T}_k(g)g$，从而证明 $\nu$ 可对角化。
• 推导 $S^4$ 的一般公式，以伴随迹表示，推广 Radford 于 1976 年对有限维霍普夫代数的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过使用扭曲系数解决 $\mathcal{O}_q(SL(2))$ 的 Hochschild 上同调中‘维数下降’现象？
• RQ2 诺特性 AS-戈伦斯坦霍普夫代数的刚性对偶复形结构为何？其与 Nakayama 自同态有何关联？
• RQ3 能否为满足 Artin-Schelter 正则性的非交换霍普夫代数建立扭曲 Poincaré 对偶性？
• RQ4 Nakayama 自同态 $\nu$ 的显式形式为何？其与反极 $S$ 和左缠绕自同态 $\xi$ 的关系如何？
• RQ5 多项式循环群 $G$ 的伴随迹如何决定其群代数 $kG$ 的 Nakayama 自同态？

主要发现

• 对于整体维数为 $d$ 的诺特性 AS-戈伦斯坦霍普夫代数 $A$，其刚性对偶复形满足 $R \cong {}^{\nu}A^1[d]$，其中 $\nu = S^2\xi$ 为 Nakayama 自同态。
• 扭曲 Hochschild 同调 $H_d(A, A^\nu) \cong Z(A) \neq 0$，故扭曲 Hochschild 维数 $\mathrm{tHdim}\, A = d$。
• 扭曲 Hochschild 上同调 $H^d(A, {}^{\nu}A) \cong A/[A,A] \neq 0$，故扭曲 Hochschild 上维数 $\mathrm{tHcdim}\, A = d$。
• 扭曲 Poincaré 对偶性成立：对所有 $A$-双模 $M$ 和所有 $i$，有 $H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A, {}^{\nu}M)$，此为 Van den Bergh 对偶性的直接推论。
• 对于多项式循环群的群代数 $kG$，Nakayama 自同态为 $\nu(g) = \mathrm{T}_k(g)g$，其中 $\mathrm{T}_k$ 为取值于 $\{\pm1\}$ 的伴随迹。
• 群代数 $kG$ 的积分阶为 1 或 2，且 $S^4$ 由伴随迹决定，推广了 Radford 于 1976 年对有限维霍普夫代数的公式。