[论文解读] Dualistic Structures on Twisted Product Manifolds

Abdoul Salam Diallo, Léonard Todjihounde|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 18

一句话总结

本文证明了在扭曲积流形上，对偶结构会诱导其基空间与纤维部分的对偶结构，反之亦然。在里奇曲率或威尓德共形平坦性条件下，本文将对偶平坦扭曲积流形表征为：基空间对偶平坦且纤维具有常曲率的流形，从而将先前关于截面曲率为常数的扭曲积流形结果推广至更广泛的扭曲积情形。

ABSTRACT

In this paper, we show that the projection of a dualistic structure defined on a twisted product manifold induces dualistic structures on the base and the fiber manifolds, and conversely. Then under some conditions on the Ricci curvature and the Weyl conformal tensor we characterize dually flat structures on twisted product manifolds.

研究动机与目标

• 将对偶平坦流形的表征结果从截面曲率为常数的扭曲积推广至更一般的扭曲积流形。
• 研究扭曲积流形上的对偶结构如何诱导其基空间与纤维流形上的对偶结构。
• 确定在何种全局几何条件下，扭曲积流形可赋予对偶平坦结构。
• 将已知结论（即：当且仅当基空间对偶平坦且纤维具有常曲率时，扭曲积流形为对偶平坦）推广至更一般的扭曲积情形。

提出的方法

• 利用从扭曲积流形到其基空间与纤维部分的对偶结构投影。
• 应用扭曲积流形的曲率分解公式，分析对偶联络的黎曼曲率张量。
• 对里奇曲率施加条件（对所有 X∈TB, V∈TF，有 Ric(X,V)=0），以约束扭曲函数 b。
• 利用基空间或纤维上的威尓德共形平坦性条件，推导对扭曲函数的等价约束。
• 应用先前工作（例如 [6], [8]）中关于共形平坦性与曲率分解的结果，分析对偶平坦性条件。
• 通过将度量与联络分解为基空间与纤维部分，推导对偶平坦性的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，扭曲积流形上的对偶结构会诱导其基空间与纤维流形上的对偶结构？
• RQ2 当基空间与纤维均配备对偶结构时，扭曲积流形在何种条件下为对偶平坦？
• RQ3 对交叉项（Ric(X,V)）的里奇曲率条件如何约束扭曲积流形中的扭曲函数？
• RQ4 在何种情况下，基空间或纤维的威尓德共形平坦性可推出扭曲积流形为对偶平坦？
• RQ5 在曲率或共形平坦性等几何约束下，能否将对偶平坦扭曲积流形的表征结果推广至更一般的扭曲积情形？

主要发现

• 扭曲积流形上的对偶结构会诱导其基空间与纤维流形上的对偶结构。
• 若里奇曲率满足 Ric(X,V)=0 对所有 X∈TB 与 V∈TF 成立，则扭曲函数 b 可分解为 b(p,q)=δ(p)γ(q)，此时扭曲积流形退化为扭曲积流形。
• 在里奇曲率条件下，扭曲积流形为对偶平坦当且仅当基空间对偶平坦且纤维具有常曲率。
• 若基空间或纤维为威尓德共形平坦，则扭曲积流形为对偶平坦当且仅当基空间对偶平坦且纤维具有常曲率。
• 当共形威尓德张量平行，且对对数扭曲函数的海森矩阵满足某些条件时，对偶平坦扭曲积流形的相同表征结果依然成立。
• 本研究结果将已知的对偶平坦扭曲积流形表征推广至更广泛的扭曲积流形类，在曲率与共形平坦性约束下成立。