[论文解读] DUALITY FOR UNBOUNDED OPERATORS, AND APPLICATIONS

Palle E. T. Jørgensen, Feng Tian|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在不假设相对有界的条件下，为希尔伯特空间中的无界算子建立了对偶框架，当一个公共的稠密子空间 D 存在于其中一个希尔伯特空间但不一定存在于另一个时，通过一个自伴半有界算子将两个希尔伯特空间联系起来。关键贡献是一个通用的对偶定理，其在算子理论中的物理哈密顿量和反射正性方面具有应用。

ABSTRACT

Our main theorem is in the generality of the axioms of Hilbert space, and the theory of unbounded operators. Consider two Hilbert spaces such that their intersection contains a fixed vector space D. It is of interest to make a precise linking between such two Hilbert spaces when it is assumed that D is dense in one of the two; but generally not in the other. No relative boundedness is assumed. Nonetheless, under natural assumptions (motivated by potential theory), we prove a theorem where a comparison between the two Hilbert spaces is made via a specific selfadjoint semibounded operator. Applications include physical Hamiltonians, both continuous and discrete (infinite network models), and operator theory of reflection positivity.

研究动机与目标

• 在最小假设条件下，发展希尔伯特空间中无界算子的对偶理论。
• 处理一个公共稠密子空间 D 存在于一个希尔伯特空间中但不一定存在于另一个的情况。
• 通过一个特定的自伴半有界算子，建立两个希尔伯特空间之间的比较。
• 将对偶框架应用于物理系统，包括连续和离散哈密顿量。
• 利用此对偶性，将反射正性理论扩展到无界情形。

提出的方法

• 通过两个希尔伯特空间在其中一个中共享一个公共稠密子空间 D 但不必然在另一个中，来表述对偶性。
• 引入一个自伴半有界算子作为连接两个希尔伯特空间的核心机制。
• 利用希尔伯特空间理论的公理和来自位势理论的结构假设，以确保对偶性成立。
• 避免相对有界的假设，从而扩大对无界算子的适用范围。
• 通过自伴算子的谱性质，构建两个希尔伯特空间之间的比较映射。
• 将该框架应用于无限网络模型和量子力学哈密顿量，以验证对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当公共子空间 D 仅在一个希尔伯特空间中稠密时，如何将两个希尔伯特空间联系起来？
• RQ2 在不假设相对有界性的前提下，什么条件能确保在不同希尔伯特空间中无界算子之间进行有意义的比较？
• RQ3 自伴半有界算子能否作为具有不对称稠密性质的两个希尔伯特空间之间的桥梁？
• RQ4 此对偶框架如何扩展到连续和离散哈密顿量等物理模型？
• RQ5 此对偶性在何种方式上支持无界算子情形下的反射正性理论？

主要发现

• 建立了共享一个公共子空间 D 的两个希尔伯特空间之间的对偶定理，其中 D 在其中一个空间中稠密，但不必然在另一个中。
• 连接机制是一个自伴半有界算子，它使得即使在缺乏相对有界性的情况下也能实现比较。
• 该框架适用于连续和离散的物理哈密顿量，包括无限网络模型。
• 该理论支持无界算子情形下的反射正性，将其适用范围从有界情形扩展出去。
• 结果是在由位势理论启发的自然假设下推导得出，确保了广泛适用性。