[论文解读] Duality theorems for étale gerbes on orbifolds

Xiang Tang, Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文建立了轨道丛 $\mathcal{B}$ 上的 $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ 与一个带有平坦 $U(1)$-gerbe $c$ 的对偶不连通轨道丛 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 之间的数学对偶性。利用非交换几何与辛拓扑的技术，作者证明了 $\mathcal{Y}$ 上的层范畴与 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 上的 $c$-扭层范畴之间存在等价关系，并且当 $\mathcal{Y}$ 为辛时，$\mathcal{Y}$ 的 Chen-Ruan 轨道丛上同调与 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 的 $c$-扭轨道丛上同调作为分次代数是同构的。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group and $\Y$ a $G$-gerbe over an orbifold $\B$. A disconnected orbifold $\hat{\Y}$ and a flat U(1)-gerbe $c$ on $\hat{\Y}$ is canonically constructed from $\Y$. Motivated by a proposal in physics, we study a mathematical duality between the geometry of the $G$-gerbe $\Y$ and the geometry of $\hat{\Y}$ {\em twisted by} $c$. We prove several results verifying this duality in the contexts of noncommutative geometry and symplectic topology. In particular, we prove that the category of sheaves on $\Y$ is equivalent to the category of $c$-twisted sheaves on $\hat{\Y}$. When $\Y$ is symplectic, we show, by a combination of techniques from noncommutative geometry and symplectic topology, that the Chen-Ruan orbifold cohomology of $\Y$ is isomorphic to the $c$-twisted orbifold cohomology of $\hat{\Y}$ as graded algebras.

研究动机与目标

• 建立轨道丛 $\mathcal{B}$ 上的 $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ 与一个带有平坦 $U(1)$-gerbe $c$ 的对偶不连通轨道丛 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 之间的数学对偶性，其动机源于 conformal field theory 对偶性的物理构想。
• 证明 $\mathcal{Y}$ 上的层范畴与 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 上的 $c$-扭层范畴之间存在等价关系，拓展了非交换几何与群胚代数的结果。
• 当 $\mathcal{Y}$ 为辛时，证明 $\mathcal{Y}$ 的 Chen-Ruan 轨道丛上同调与 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 的 $c$-扭轨道丛上同调作为分次代数是同构的。
• 将对偶性推广至代数几何设定，证明该等价关系在 Deligne-Mumford 栈上的（拟）相干层范畴中依然成立。
• 阐明该对偶性与张量积的相容性，特别是对于从 $\mathcal{B}$ 的粗模空间拉回的层而言。

提出的方法

• 将对偶轨道丛 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 构造为有限群 $G$ 的不可约酉表示集合 $\widehat{G}$ 的不相交并，配备一个自然的平坦 $U(1)$-gerbe $c$。
• 利用 Mackey 机理与 Morita 等价，将 $M$ 上的 $G$-层范畴与 $M \times \widehat{G}$ 上的 $\widehat{G}$-等变层范畴联系起来，借助有限群的表示理论。
• 利用命题 4.5 中的上链 $c$，在 $M \times \widehat{G}$ 上定义一个 $c$-扭 $\widehat{\mathfrak{Q}}$-层结构，该结构通过映射 $j: \mathfrak{H} \to \mathfrak{Q}$ 扩展。
• 通过与编码表示数据的典范层 $\mathcal{V}_G$ 的张量积，建立 $M$ 上的 $\mathfrak{H}$-层与 $M \times \widehat{G}$ 上的 $c$-扭 $\widehat{\mathfrak{Q}}$-层之间的等价关系。
• 通过 Hochschild 复形之间的拟同构，证明 $\mathcal{Y}$ 的群胚代数的 Hochschild 上同调与 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 的对偶群胚代数的 Hochschild 上同调之间存在同构。
• 通过展示 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 的 $c$-扭上同调环与 $\mathcal{Y}$ 的 Chen-Ruan 上同调环一致，将对偶性应用于 Chen-Ruan 上同调，利用辛几何与非交换几何技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个关于轨道丛 $\mathcal{B}$ 上的 $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ 与一个带有平坦 $U(1)$-gerbe $c$ 的对偶不连通轨道丛 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 的几何的典范对偶性？
• RQ2 $\mathcal{Y}$ 上的层范畴是否对应于 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 上的 $c$-扭层范畴？
• RQ3 当 $\mathcal{Y}$ 为辛时，$\mathcal{Y}$ 的 Chen-Ruan 轨道丛上同调是否作为分次代数同构于 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 的 $c$-扭轨道丛上同调？
• RQ4 该对偶性如何与层的张量积相互作用，特别是对于从 $\mathcal{B}$ 的粗模空间拉回的层而言？
• RQ5 该对偶性能否推广至代数几何设定，包括 Deligne-Mumford 栈与（拟）相干层？

主要发现

• 定理 7.11 建立了 $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ 上的层范畴与对偶轨道丛 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 上的 $c$-扭层范畴之间的等价关系。
• 当 $\mathcal{Y}$ 为辛时，$\mathcal{Y}$ 的 Chen-Ruan 轨道丛上同调与 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 的 $c$-扭轨道丛上同调作为分次代数是同构的。
• 该对偶性可推广至代数几何设定：$\mathcal{Y}$ 上的（拟）相干层的阿贝尔范畴与 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 上的 $c$-扭（拟）相干层的阿贝尔范畴之间存在等价关系。
• 层范畴之间的等价关系一般不保持张量积结构，但与从 $\mathcal{B}$ 的粗模空间拉回的层的张量积相容。
• $\mathcal{Y}$ 的群胚代数的 Hochschild 上同调与 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 的对偶群胚代数的 Hochschild 上同调之间存在同构，该同构由 Hochschild 复形之间的拟同构实现。
• 该对偶性通过 $M \times \widehat{G}$ 上的典范层 $\mathcal{V}_G$ 实现，该层通过张量积诱导等价关系，将 Mackey 机理推广至 gerbe 与扭层。