[论文解读] Duality theory for nonergodic actions

Sergey Neshveyev|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 22

一句话总结

本文通过引入从表示范畴 RepG 到 C*-对应关系范畴的弱酉张量函子，建立了紧致量子群非遍历作用的对偶理论。它表明此类函子可分类所有 G 的作用，推广了早期关于遍历作用的结果，并将该构造与基于离散量子群上 2-上循环的余积型代数及形变联系起来。

ABSTRACT

Generalizing work by Pinzari and Roberts, we characterize actions of a compact quantum group G on C*-algebras in terms of what we call weak unitary tensor functors from Rep G into categories of C*-correspondences. We discuss the relation of our construction of a C*-algebra from a functor to some well-known crossed product type constructions, such as cross-sectional algebras of Fell bundles and crossed products by Hilbert bimodules. We also relate our setting to recent work of De Commer and Yamashita by showing that any object in a module C*-category over Rep G produces a weak unitary tensor functor, and, as a consequence, actions can also be described in terms of (Rep G)-module C*-categories. As an application we discuss deformations of C*-algebras by cocycles on discrete quantum groups.

研究动机与目标

• 将对偶理论从遍历作用推广至涵盖所有紧致量子群 G 的作用。
• 通过从 RepG 到 C*-对应关系范畴的函子，刻画紧致量子群 G 的作用。
• 将范畴描述与已知的余积构造（如 Fell 捆横截代数和希尔伯特双模余积）联系起来。
• 证明 RepG 上的模 C*-范畴可提供与 De Commer 和 Yamashita 结果相推广的等价描述。
• 将该框架应用于通过离散量子群上的 2-上循环构造 C*-代数的形变。

提出的方法

• 引入从 RepG 到 C*-代数 A 上 C*-对应关系范畴的弱酉张量函子的概念。
• 通过 Woronowicz 重构方法的推广，从该函子构造 C*-代数，仔细处理非伴随可映射。
• 证明所得代数携带 G 作用，且该构造与已知的余积型代数兼容。
• 证明任一 RepG-模 C*-范畴中的对象可通过函子 Mor(M, M⊗·) 自然诱导出一个弱酉张量函子。
• 建立弱酉张量函子范畴与具有固定生成对象的 RepG-模 C*-范畴之间的范畴等价。
• 利用双对偶离散量子群上的 2-上循环诱导的酉张量等价，关联形变与未形变代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过其表示范畴 RepG 完全刻画紧致量子群 G 的作用？
• RQ2 非遍历作用背后的范畴结构是什么？它与遍历作用有何关系？
• RQ3 从 RepG 到 CorrA 的弱酉张量函子如何对应于 C*-代数 A 上的 G-作用？
• RQ4 模 C*-范畴在 RepG 上如何提供 G-作用的另一种等价描述？
• RQ5 该范畴框架能否用于通过离散量子群上的 2-上循环构造并分类 C*-代数的形变？

主要发现

• 紧致量子群 G 的作用与从 RepG 到 C*-代数 A 上 C*-对应关系范畴的弱酉张量函子之间存在自然的一一对应。
• 从弱酉张量函子构造 C*-代数的方法推广了已知的余积构造，包括 Fell 捆横截代数与希尔伯特双模余积。
• 任一 RepG-模 C*-范畴中的对象自然诱导出一个弱酉张量函子，建立了模范畴与函子之间的对偶性。
• 弱酉张量函子范畴与具有固定生成对象的 RepG-模 C*-范畴范畴等价。
• 通过离散量子群上的 2-上循环对 C*-代数的形变自然源于该框架，形变代数可实现为通过上循环扭曲的余积。
• 该函子构造下，形变代数的 *-代数结构与唯一 C*-完备化被保持，且约化形变量子群的作用被唯一确定。