[论文解读] Tannaka-Kreùõn duality for compact quantum homogeneous spaces. I. General theory

Kenny De Commer, Makoto Yamashita|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用 14

一句话总结

本文在 equivariant Morita 等价意义下，建立了量子 G-齐次空间与紧量子群 G 的有限维表示的张量范畴 Repp(G) 上的不可约模 C*-范畴之间的一一对应关系。通过利用等变希尔伯特模的范畴结构，该研究为遍历作用提供了全局对偶框架，将 Pinzari 和 Roberts 早期的工作在范畴论与表示论的设定下进行了推广。

ABSTRACT

An ergodic action of a compact quantum group G on an operator algebra A can be interpreted as a quantum homogeneous space for G. Such an action gives rise to the category of finite equivariant Hilbert modules over A, which has a module structure over the tensor category ReppGq of finite-dimensional representations of G. We show that there is a one-to-one correspondence between the quantum G-homogeneous spaces up to equivariant Morita equivalence, and indecomposable module C u -categories over ReppGq up to natural equivalence. This gives a global approach to the duality theory for ergodic actions as developed by C. Pinzari and J. Roberts.

研究动机与目标

• 发展紧量子群遍历作用的全局范畴对偶理论。
• 通过其关联的等变希尔伯特模范畴表征量子 G-齐次空间。
• 在自然等价意义下，建立量子齐次空间与 Repp(G) 上的模 C*-范畴之间的对应关系。
• 利用范畴论与表示论方法，推广 Pinzari 和 Roberts 的对偶结果。

提出的方法

• 本文将算子代数 A 上的有限等变希尔伯特模范畴用作 Repp(G)（即 G 的有限维表示的张量范畴）上的模范畴。
• 应用 Tannaka-Kreín 对偶性原理，从其表示范畴 Repp(G) 重构量子群 G。
• 该构造依赖于等变希尔伯特模在 Repp(G) 上的模结构，该结构编码了 A 上的 G-作用。
• 引入 Repp(G) 上不可约模 C*-范畴的概念，以在等变 Morita 等价意义下对量子齐次空间进行分类。
• 通过量子 G-齐次空间范畴与 Repp(G) 上不可约模 C*-范畴范畴之间的范畴等价，建立对偶关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用范畴结构系统地分类紧量子群的遍历作用？
• RQ2 量子 G-齐次空间与 Repp(G) 上的模范畴之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 等变 Morita 等价如何与 Repp(G) 上模 C*-范畴的结构相关联？
• RQ4 能否通过范畴方法将 Tannaka-Kreín 对偶性推广至量子齐次空间的设定？

主要发现

• 在等变 Morita 等价意义下，量子 G-齐次空间与 Repp(G) 上不可约模 C*-范畴之间存在一一对应关系（在自然等价意义下）。
• 在量子齐次空间上，有限等变希尔伯特模范畴自然构成 Repp(G) 上的模范畴。
• 该对偶框架通过其表示论与范畴论数据，提供了对量子齐次空间的全局表征。
• 该结果在范畴框架下统一并推广了 Pinzari 和 Roberts 早期的对偶结果。