[论文解读] Dynamic mode decomposition for interconnected control systems

Byron Heersink, Michael A. Warren+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文提出 Network DMDc，一种数据驱动方法，通过利用网络结构将带控制的动态模式分解（DMDc）扩展至建模互联控制系统。通过将系统分解为局部子系统并仅关注连接的组件，Network DMDc 降低了计算成本，并在识别线性动力学方面提高了准确性，尤其适用于大规模稀疏连接系统。

ABSTRACT

Dynamic mode decomposition (DMD) is a data-driven technique used for capturing the dynamics of complex systems. DMD has been connected to spectral analysis of the Koopman operator, and essentially extracts spatial-temporal modes of the dynamics from an estimate of the Koopman operator obtained from data. Recent work of Proctor, Brunton, and Kutz has extended DMD and Koopman theory to accommodate systems with control inputs: dynamic mode decomposition with control (DMDc) and Koopman with inputs and control (KIC). In this paper, we introduce a technique, called Network dynamic mode decomposition with control, or Network DMDc, which extends the DMDc to interconnected, or networked, control systems. Additionally, we provide an adaptation of Koopman theory for networks as a context in which to perform this algorithm. The Network DMDc method carefully analyzes the dynamical relationships only between components in systems which are connected in the network structure. By focusing on these direct dynamical connections and cutting out computation for relationships between unconnected components, this process allows for improvements in computational intensity and accuracy.

研究动机与目标

• 解决标准 DMDc 在应用于大规模互联控制系统时存在的计算效率低下和数值不稳定性问题。
• 开发一种利用动力系统固有网络结构的方法，以降低模型复杂度并提高准确性。
• 将 Koopman 算子理论扩展至网络化系统，为所提算法提供理论基础。
• 实现对大规模网络化系统高效且可并行化的系统辨识，且数据需求最小化。
• 证明仅关注动态连接组件可获得比全局 DMDc 方法更准确且计算上更可行的模型。

提出的方法

• 该方法根据网络的邻接结构将网络化控制系统分解为局部子系统，其中每个节点代表一个子系统。
• 对每个子系统，算法应用 DMDc，利用状态和控制输入的时间序列数据估计局部 Koopman 算子近似。
• 局部模型由基于状态和控制轨迹构建的数据矩阵推导得出，使用伪逆求解线性动力学。
• 该算法避免计算未连接组件之间的相互作用，显著减小了线性代数问题的规模。
• 通过组合局部模型重建最终的全局模型，保留网络结构和动力学依赖关系。
• 该方法通过引入局部 Koopman 算子近似，可适应处理线性和非线性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 DMDc 扩展以高效建模具有稀疏网络结构的大规模互联控制系统？
• RQ2 在基于 DMD 的系统辨识中，利用网络结构能带来哪些计算和精度优势？
• RQ3 当数据有限或存在噪声时，局部化 DMDc 方法是否能优于全局 DMDc？
• RQ4 网络结构如何影响系统辨识过程的数值稳定性？
• RQ5 Network DMDc 在多大程度上可实现并行化和可扩展化，以适用于实时或分布式控制应用？

主要发现

• Network DMDc 在恢复线性动力学方面始终优于标准 DMD 和 DMDc，尤其在稀疏连接系统中表现更优。
• 对于具有 50 个节点和边概率为 0.05 的 Erdős-Rényi 随机网络，即使模拟时间较短，Network DMDc 的平均模型误差也显著低于 DMD。
• 该方法缓解了标准 DMD 中因数据矩阵的病态伪逆导致的小奇异值引起的数值不稳定性问题。
• 通过仅关注连接组件，Network DMDc 相较于全局 DMDc 显著降低了计算负担并改善了数值条件。
• 该算法对数据相关性表现出鲁棒性，即使模拟长度与最大局部子系统的维度相当时仍具有效性。
• 该方法天然支持并行计算，可实现大规模网络化系统的可扩展部署。