[论文解读] Dynamic programming approach to principal-agent problems

Jakša Cvitanić, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 53被引用 111

一句话总结

本文提出一种动态规划方法，用于求解具有终端一次性支付合同的一般连续时间委托代理问题，即使代理同时控制产出的漂移和波动率。通过将合同限制在能使代理价值函数呈现动态规划表示的范围内，作者将非零和随机博弈简化为可解的随机控制问题，并证明该限制不会导致最优性损失。关键贡献在于提出了一种系统性方法，适用于非马尔可夫、波动率控制的设定，利用二阶倒向SDEs。

ABSTRACT

We consider a general formulation of the Principal-Agent problem with a lump-sum payment on a finite horizon, providing a systematic method for solving such problems. Our approach is the following: we first find the contract that is optimal among those for which the agent's value process allows a dynamic programming representation, for which the agent's optimal effort is straightforward to find. We then show that the optimization over the restricted family of contracts represents no loss of generality. As a consequence, we have reduced this non-zero sum stochastic differential game to a stochastic control problem which may be addressed by the standard tools of control theory. Our proofs rely on the backward stochastic differential equations approach to non-Markovian stochastic control, and more specifically, on the recent extensions to the second order case.

研究动机与目标

• 解决连续时间下具有一次性支付的通用委托代理问题，特别是当代理控制产出的漂移与波动率时。
• 克服在道德风险设定下求解非马尔可夫、非零和随机控制问题的困难。
• 提供一种系统性方法，将复杂的合同设计问题简化为标准随机控制框架。
• 证明将合同限制在能使代理价值函数呈现动态规划表示的范围内，不会导致最优性损失。

提出的方法

• 引入一类受限合同，使得代理的价值过程可表示为动态规划形式。
• 利用二阶倒向随机微分方程（2BSDEs）刻画非马尔可夫设定下代理的价值过程。
• 在该受限合同类下，将代理优化问题的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程框架应用于其优化问题。
• 推导一阶条件，以识别代理最优努力为哈密顿函数的最大化者。
• 证明在该受限合同类上，委托人期望效用的上确界等于全局上确界，从而确保无最优性损失。
• 利用近期关于2BSDEs及正则性规避技术的研究成果，处理由波动率控制引发的非一致测度问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种系统性方法，求解代理同时控制产出漂移与波动率的连续时间委托代理问题？
• RQ2 将合同限制在能使代理价值函数呈现动态规划表示的范围内，是否会导致合同设计问题中的最优性损失？
• RQ3 在非马尔可夫、波动率控制的设定下，如何将委托人的优化问题简化为标准随机控制问题？
• RQ4 对产出及其二次变差的一阶与二阶敏感性在刻画最优合同中起什么作用？
• RQ5 该方法能否推广至一般效用函数和多维产出过程，且无需马尔可夫性假设？

主要发现

• 最优合同通过求解由HJB方程导出的随机控制问题来刻画，其中代理的最优努力由哈密顿函数的最大化确定。
• 该方法适用于一般效用函数和多维模型，其中代理控制漂移与波动率，扩展了以往仅限于CARA与线性模型的研究。
• 在温和的技术条件下，将合同限制在能使代理价值函数呈现动态规划表示的范围内，不会导致最优性损失。
• 代理的价值过程通过二阶倒向SDEs表示，从而能够分析非马尔可夫、波动率控制的问题。
• 在CARA偏好与线性产出动态的特殊情形下，最优合同依赖于终端产出及其二次变差，推广了早期的线性合同。
• 该方法可恢复已知结果，例如在无道德风险情形下的第一类最优风险分担合同，表明通过激励对齐，最优合同可复现第一类最优结果。