[论文解读] Dynamical properties and structure of Julia sets of postcritically bounded polynomial semigroups

Rich Stankewitz, Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了后临界有界多项式半群中Julia集的动力与结构性质，其中后临界集是统一有界的。证明了某些类型（例如双连通）的Fatou分量之间由Julia集中具有统一膨胀系数的拟圆康托集所分离，从而为这类半群建立了深刻的拓扑与拟共形结构。

ABSTRACT

We discuss the dynamic and structural properties of polynomial semigroups, a natural extension of iteration theory to random (walk) dynamics, where the semigroup $G$ of complex polynomials (under the operation of composition of functions) is such that there exists a bounded set in the plane which contains any finite critical value of any map $g \in G$. In general, the Julia set of such a semigroup $G$ may be disconnected, and each Fatou component of such $G$ is either simply connected or doubly connected (\cite{Su01,Su9}). In this paper, we show that for any two distinct Fatou components of certain types (e.g., two doubly connected components of the Fatou set), the boundaries are separated by a Cantor set of quasicircles (with uniform dilatation) inside the Julia set of $G.$ Important in this theory is the understanding of various situations which can and cannot occur with respect to how the Julia sets of the maps $g \in G$ are distributed within the Julia set of the entire semigroup $G$. We give several results in this direction and show how such results are used to generate (semi) hyperbolic semigroups possessing this postcritically boundedness condition.

研究动机与目标

• 理解后临界集有界的多项式半群中Julia集的动力与结构性质。
• 分析半群中单个映射的Julia集在半群全局Julia集中的分布方式。
• 表征不同Fatou分量之间的拓扑分离，特别是双连通分量。
• 在后临界有界性条件下，建立半群为（半）双曲的条件。
• 探讨拟圆及统一拟共形扭曲在Julia集结构中的作用。

提出的方法

• 利用复有理函数与多项式半群的复合理论，聚焦于Fatou集中后向不变性与正规性。
• 应用最小Julia集 $ J_{\min}(G) $ 的概念，其具有后向不变性且至少包含三个点。
• 采用拟共形映射与扭曲估计（例如Koebe扭曲定理）来控制小球的逆像的几何结构。
• 利用后临界集的统一有界性，确保逆像分量始终保持统一分离。
• 应用Sullivan的无游动域定理，排除Fatou集中存在Siegel圆盘或抛物周期轨道的可能性。
• 应用文献[22]中的引理1.10来界定迭代映射下逆像分量的直径，确保统一控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在后临界有界的多项式半群中，单个映射的Julia集如何分布在半群的全局Julia集中？
• RQ2 在这样的半群中，不同Fatou分量（特别是双连通分量）之间由何种拓扑结构所分离？
• RQ3 在何种条件下，多项式半群的Julia集包含具有统一膨胀系数的拟圆康托集？
• RQ4 后临界有界性条件能否用于保证半群的（半）双曲性？
• RQ5 逆像分量的统一拟共形扭曲如何影响Julia集的全局结构？

主要发现

• 在任意后临界有界的多项式半群中，若存在两个不同的双连通Fatou分量，则其边界由Julia集中具有统一膨胀系数的拟圆康托集所分离。
• 最小Julia集 $ J_{\min}(G) $ 至少包含三个点，且其后向轨道在完整Julia集 $ J(G) $ 中稠密。
• 由于后临界集有界及统一拟共形扭曲，半群中映射下小球的逆像分量始终保持统一分离。
• 吸引域的并集 $ UH(G) $ 与 $ J_{\min}(G) $ 不相交，意味着 $ J_{\min}(G) $ 中的点不属于半群中任一映射的吸引基域。
• 对任意 $ z \in J_{\min}(G) $，存在一个统一的界 $ N $，使得其在迭代映射下的逆像次数有界，即 $ z \in SH_N(G) $，即具有有界重数的点集。
• 全局Julia集 $ J(G) $ 中不含游动域，且由于对逆像分量的统一控制，其上的动力系统具有结构刚性。