[论文解读] E-polynomials of $PGL(2,\mathbb{C})$-character varieties of surface groups

Javier Martínez|arXiv (Cornell University)|May 12, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文使用基于纤维化和分层的几何技术，计算了具有一个穿孔和任意单值的亏格 $g$ 空间群的 $ \operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特征簇的 E-多项式。关键贡献在于以 $q = uv$ 表示的 E-多项式显式公式，并与 Langlands 对偶 $ \operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 情况进行比较，揭示了通过 Hodge 单值表示编码的差异。

ABSTRACT

In this paper, we compute the E-polynomials of the $PGL(2,\mathbb{C})$-character varieties associated to surfaces of genus $g$ with one puncture, for any holonomy around it, and compare it with its Langlands dual case, $SL(2,\mathbb{C})$. The study is based on the stratification of the space of representations and on the analysis of the behaviour of the E-polynomial under fibrations.

研究动机与目标

• 计算具有一个穿孔和任意单值的亏格 $g$ 紧致黎曼曲面的 $ \operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特征簇的 E-多项式。
• 将这些 E-多项式与 Langlands 对偶 $ \operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-特征簇的 E-多项式进行比较。
• 通过表示空间的纤维化和分层，理解这些模空间的几何与算术结构。
• 建立 E-多项式差异与特征多项式底空间上纤维化 Hodge 单值表示之间的关系。
• 通过对称群作用，推测 $ \operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ 和 $ \operatorname{PGL}(n,\mathbb{C})$ 的更高秩群的 E-多项式差异公式的推广。

提出的方法

• 基于在解析拓扑下局部平凡但不在 Zarsiki 拓扑下平凡的纤维化，使用 E-多项式在这些纤维化下的行为的几何方法。
• 通过迹映射和 $ \mathbb{Z}_2^{2g}$ 在 $ \operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-特征簇上的作用，对表示空间进行显式分层，将 $ \operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特征簇作为商空间获得。
• 应用 Hodge 单值表示，编码当单值 $C$ 在 $ \operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 中变化时 E-多项式的变体，特别是针对 $C = \operatorname{Id}, -\operatorname{Id}, J_{\pm}, \xi_\lambda$ 的情况。
• 利用受 Katz 定理启发的算术方法，通过有限域上的点计数，将 E-多项式计算为混合 Hodge 多项式的特殊化形式。
• 基于低亏格和自由群的先前结果，为亏格 $g$ 推导 E-多项式的递归与归纳公式。
• 依赖非交换 Hodge 对应关系和 Riemann-Hilbert 映射，将 Dolbeault、de Rham 和 Betti 模空间联系起来，强调单值映射的非代数性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有一个穿孔和任意单值的亏格 $g$ 曲面的 $ \operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特征簇的显式 E-多项式是什么？
• RQ2 $ \operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特征簇的 E-多项式与 Langlands 对偶 $ \operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-特征簇的 E-多项式有何不同？
• RQ3 当穿孔处的单值变化时，E-多项式变化背后的几何与单值结构是什么？
• RQ4 能否通过 Hodge 单值表示编码 $ \operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 与 $ \operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$ E-多项式之间的差异？
• RQ5 在更高秩群 $ \operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ 和 $ \operatorname{PGL}(n,\mathbb{C})$ 中，此类 E-多项式差异是否存在一般模式？

主要发现

• E-多项式 $e(\mathcal{M}_{\operatorname{Id}}^{g}(\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})))$ 由下式给出：$e(\mathcal{M}_{\operatorname{Id}}^{g}) = (q^{3}-q)^{2g-2} + (q^{2}-1)^{2g-2} - q(q^{2}-q)^{2g-2} - q^{2g-2} + \frac{1}{2}q^{2g-1}((q-1)^{2g-2} + (q+1)^{2g-2}) + \frac{1}{2}q((q+1)^{2g-1} + (q-1)^{2g-1})$。
• 当 $C = -\operatorname{Id}$ 时，E-多项式为 $e(\mathcal{M}_{-\operatorname{Id}}^{g}) = (q^{3}-q)^{2g-2} + (q^{2}-1)^{2g-2} - \frac{1}{2}((q^{2}+q)^{2g-2} + (q^{2}-q)^{2g-2})$。
• 对于幂幺单值 $J_{+} = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，E-多项式为 $e(\mathcal{M}_{J_{+}}^{g}) = (q^{2}-1)(q^{3}-q)^{2g-2} + \frac{1}{2}(-q(q+1)(q^{2}+q)^{2g-2} + (q-2)(q-1)(q^{2}-q)^{2g-2})$。
• 对于 $J_{-} = \begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$，E-多项式为 $e(\mathcal{M}_{J_{-}}^{g}) = (q^{2}-1)(q^{3}-q)^{2g-2} + \frac{1}{2}((q+1)(q^{2}+q)^{2g-2} - (q-1)(q^{2}-q)^{2g-2})$。
• 对于正则半单 $\xi_\lambda = \operatorname{diag}(\lambda, \lambda^{-1})$，$\lambda \neq 0, \pm 1$，E-多项式为 $e(\mathcal{M}_{\lambda}^{g}) = (q^{2}+q)(q^{3}-q)^{2g-2} + (q+1)(q^{2}-1)^{2g-2} - q(q^{2}-q)^{2g-2}$。
• $ \operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 与 $ \operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$ E-多项式之间的差异完全由 Hodge 单值表示 $R(\overline{X}_4 / \mathbb{Z}_2) = a^g T + c^g S_2 + b^g S_{-2} + d^g S_0$ 的系数描述，其中 $e_i - \tilde{e}_i$ 的显式公式以 $q$、$g$ 和单值类型表示。