[论文解读] Stratifications of affine Deligne-Lusztig varieties

Ulrich Goertz|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了在所有考克斯eter型情况下，仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇的基于 $σ$-中心化子的 $Π$-分层与布饶特-蒂茨分层一致，从而解决了陈与维赫曼的猜想。证明依赖于仿射外尔群中的组合群论及抛物子群中相对位置的性质。

ABSTRACT

Affine Deligne-Lusztig varieties are analogues of Deligne-Lusztig varieties in the context of affine flag varieties and affine Grassmannians. They are closely related to moduli spaces of $p$-divisible groups in positive characteristic, and thus to arithmetic properties of Shimura varieties. We compare stratifications of affine Deligne-Lusztig varieties attached to a basic element $b$. In particular, we show that the stratification defined by Chen and Viehmann using the relative position to elements of the group $J_b$, the $σ$-centralizer of $b$, coincides with the Bruhat-Tits stratification in all cases of Coxeter type, as defined by X. He and the author.

研究动机与目标

• 证明通过 $σ$-中心化子 $Π$ 的相对位置定义的 $Π$-分层，在所有考克斯eter型情况下与布braut-Tits分层一致。
• 将 $Π$-分层推广至非超特殊水平结构的情形，确保其构成真正的分层，即局部闭子集的分层。
• 为比较仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇中的几何分层提供技术基础，这对理解其上同调及算术应用至关重要。
• 解决陈与维赫曼（2018）关于拉波波尔特-津克空间与希姆拉簇背景下两种分层等价性的猜想。

提出的方法

• 利用仿射外尔群 $χ$ 和抛物子群 $χκ$，将仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇 $X_w(b)$ 定义为 $G(χζ F)/χκ$ 上的 ind-概形。
• 通过相对位置映射 $\mathrm{inv}_K(j,g)$ 对 $j \in \mathbb{J}$（即 $b$ 的 $σ$-中心化子）定义 $Π$-分层，确保各分层为局部闭集。
• 应用卢斯蒂格关于经典德林费尔德-卢斯蒂格簇的结果，证明布braut-Tits分层是 $Π$-分层的细化。
• 在仿射外尔群中运用组合论证，特别是分析外尔群元素的支撑集以及 $w_0$-乘积中的子表达式。
• 利用仿射达尼金图及其 $σ$-不变子集 $\Sigma$、$\Sigma'$ 的结构，分析 $P' \not\subseteq P$ 的情形，尤其在类型 $\tilde{B}$ 中支撑集非线性有序的情况。
• 应用引理 3.14，证明某些单反射 $s_v$ 属于 $w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'}$ 的支撑集，从而推出其不属于 $W_K$。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于 $σ$-中心化子 $\mathbb{J}$ 的元素的相对位置定义的 $Π$-分层，在所有仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇的考克斯eter型情况下，是否与布braut-Tits分层一致？
• RQ2 在不假设超特殊水平结构的前提下，$Π$-分层能否严格定义为局部闭子集的分层？
• RQ3 仿射外尔群的组合结构与 $X_w(b)$ 中分层的几何结构之间存在何种精确关系？
• RQ4 当 $σ$-不变子集 $\Sigma$、$\Sigma'$ 的支撑集非线性有序时，分层的行为如何？是否仍可建立等价性？

主要发现

• 在所有考克斯eter型仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇中，$Π$-分层与布braut-Tits分层一致，从而证实了陈与维赫曼的猜想。
• $Π$-分层即使在不假设超特殊水平结构的情况下，也构成真正的局部闭子集分层。
• 证明的关键在于通过证明存在 $v \in \tilde{\mathbb{S}} \setminus K$ 使得 $s_v \in \mathrm{supp}(w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'})$，从而推出 $w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'} \not\in W_K$，进而保证双陪集的不等性。
• 在关键情形 $\Sigma \cap P \neq \emptyset$ 且 $P' \not\subseteq P$ 时，通过仿射达尼金图中的一条路径构造序列 $t_0, \dots, t_r$，使其满足引理 3.14 的条件。
• 关键技术步骤是证明当 $\Sigma = \{t_0\}$ 且 $w_1$ 在 $W_P w_1 W_{P'}$ 中非平凡时，有 $t_0 \in \mathrm{supp}(w_1)$，从而确保 $s_v \in \mathrm{supp}(w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'})$。
• 该结果在所有考克斯eter型情形中统一成立，包括支撑集非线性有序的 $\tilde{B}$-型情形，该情形下的论证最为精细。