[论文解读] Edge states and universality class of the critical two-box symmetric SU(3) chain

Pierre Nataf, Samuel Gozel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Quantum many-body systems参考文献 54被引用 10

一句话总结

该论文表明，临界双盒对称 SU(3) 自旋链在伴随表示中存在边缘态，其能量按 1/(Ns log Ns) 缩放，类似于半整数 SU(2) 链。这些边缘态主导了纠缠熵，解释了为何 DMRG 模拟先前未能确认 SU(3)1 临界类（c = 2）；在链的两端附加伴随表示可屏蔽这些态，使中心荷精确落在 c = 2 的 1% 以内。

ABSTRACT

We numerically demonstrate that, although it is critical, the two-box symmetric $\mathrm{SU}(3)$ chain possesses edge states in the adjoint representation whose excitation energy scales with the number of sites $N_s$ as $1/(N_s \log N_s)$, in close analogy to those found in half-integer $\mathrm{SU}(2)$ chains with spin $S\ge 3/2$. We further show that these edge states dominate the entanglement entropy of finite chains, explaining why it has been impossible so far to verify with DMRG simulations the field theory prediction that this model is in the $\mathrm{SU}(3)_1$ universality class. Finally, we show that these edge states are very efficiently screened by attaching adjoint representations at the ends of the chain, leading to an estimate of the central charge consistent within 1\% with the prediction $c=2$ for $\mathrm{SU}(3)_1$.

研究动机与目标

• 解决场论预测（SU(3)1，c=2）与 DMRG 模拟在双盒对称 SU(3) 链中观测到的异常高中心荷之间的长期矛盾。
• 识别 DMRG 模拟中出现的虚假中心荷的根源，该现象曾长期掩盖 SU(3)1 临界类的确认。
• 证明此前仅在能隙拓扑相中已知的边缘态，也存在于临界 SU(3) 链中，其能量按 1/(Ns log Ns) 缩放。
• 表明通过在链两端附加伴随表示，可有效屏蔽这些边缘态，从而恢复中心荷的准确提取。

提出的方法

• 在长达数百个自旋的链上，采用开放边界条件进行密度矩阵重整化群（DMRG）模拟，使用基于标准杨图的 SU(3) 对称基。
• 利用 Calabrese-Cardy 公式分析纠缠熵，以提取中心荷，并通过仔细外推至零丢弃权重，以最小化有限键维数效应。
• 系统研究有限链的能谱，识别低能激发态，特别关注伴随表示 [2,1,0] 作为边缘态的特征。
• 在链的两端引入辅助伴随表示以屏蔽边缘态，并重新评估纠缠熵与中心荷。
• 分析纠缠熵在模 3 下的振荡（q = x mod 3），并对 q = 0 和 q = 1,2 分别拟合包络线，以提高精度。
• 采用以玻色子算符表示的 SU(3) 能量算符：H = J ∑ᵢ ∑_{α,β=1}³ bₐ†ᵢ bᵦᵢ bᵦ†ᵢ₊₁ bₐᵢ₊₁，限制在双玻色子对称不可约表示 [2,0,0] 内。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何 DMRG 模拟双盒对称 SU(3) 链时得到的中心荷显著高于 SU(3)1 临界类的理论预测值 c = 2？
• RQ2 这些临界 SU(3) 链中是否存在边缘态？若存在，其能量尺度与表示为何？
• RQ3 DMRG 中观测到的虚假中心荷是否可归因于这些边缘态引起的纠缠？
• RQ4 通过在末端附加伴随表示屏蔽边缘态后，能否恢复正确的中心荷？
• RQ5 在该临界 SU(3) 链中，边缘态能量随系统尺寸 Ns 的缩放关系如何？

主要发现

• 双盒对称 SU(3) 链在伴随表示 [2,1,0] 中存在边缘态，激发能按 1/(Ns log Ns) 缩放，与半整数 SU(2) 链类似。
• 这些边缘态在有限链中主导了纠缠熵，解释了 DMRG 模拟中观测到的异常高中心荷（≈3.6–3.7）的原因。
• 当在链两端附加伴随表示时，边缘态被屏蔽，纠缠熵符合 Calabrese-Cardy 公式，中心荷在 c = 2 的 1% 以内。
• 从屏蔽后的链中提取的中心荷收敛于 c ≈ 2.00，确认了 SU(3)1 临界类。
• 通过分别拟合 q = 0 与 q = 1,2 的纠缠熵振荡包络线，解决了模 3 振荡的分辨问题，提升了中心荷估计的精度。
• 结果解决了长期存在的谜题：场论与数值模拟之间的表观矛盾源于边缘态贡献，而非向 SU(3)2 的跨界。