[论文解读] Effective Batalin-Vilkovisky quantization and geometric applications

Si Li|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种有效的巴蒂林-维利科夫斯基（BV）量子化框架，将量子场论与深层几何结构联系起来。它表明，在复流形 $X \times \mathbb{C}$ 上对卡拉比-丘流形上的BCOV理论进行BV量子化，会得到一个在 $\mathbb{C}$ 上的有效的二维手征场论，其对称性生成一个可积层级；该构造通过拓扑弦理论实现了杜布罗文的经典与量子可积层级的几何实现。

ABSTRACT

We explain the effective renormalization method of quantum field theory in the Batalin-Vilkovisky formalism and illustrate its mathematical applications by three geometric examples: (1) Topological quantum mechanics and algebraic index, (2) Elliptic curve and higher genus mirror symmetry, (3) Calabi-Yau geometry and integrable hierarchy. This note is an expansion of author's talk at ICCM 2016.

研究动机与目标

• 通过巴蒂林-维利科夫斯基形式化方法，为量子场论中的有效重整化建立严格的数学框架。
• 将量子场论构造——特别是BV量子化——与经典几何不变量（如代数指标和高亏格镜像对称）联系起来。
• 为拓扑弦理论在卡拉比-丘流形上出现的可积层级提供几何解释。
• 利用BV量子化和有效场论技术，推广关于椭圆曲线镜像对称和代数指标定理的已知结果。
• 提出一种统一机制，通过在 $X \times \mathbb{C}$ 上紧化BCOV理论，实现拓扑弦理论中可积系统的出现。

提出的方法

• 利用巴蒂林-维利科夫斯基形式化方法处理具有无限维场空间的量子场论中的规范对称性和异常。
• 应用有效场论技术，在 $X \times \mathbb{C}$ 上的BCOV理论中积分掉 $X$ 上的高能模式，从而得到一个在 $\mathbb{C}$ 上的有效二维手征场论。
• 采用同调微扰理论，并选择霍奇滤子分裂，推导出有效场空间 $\operatorname{PV}(\mathbb{C}) \otimes_{\mathbb{C}} H_X[[t]]$。
• 识别出背景对称性的一个阿贝尔子代数 $\partial_z \otimes H_X[[t]]$，其诺特定电流生成交换算符 $\{I_{\alpha}^{\hbar,\epsilon}\}$。
• 在经典极限 $\hbar, \epsilon \to 0$ 下推导出泊松括号结构，得到 $\{a(z), b(w)\} = \langle a,b \rangle \partial_z \delta(z-w)$。
• 构造了亏格零振幅的生成函数 $F_0^X$，并利用下拉插入项 $t^k\mu$ 定义 $I_{k,\mu} = \oint dz J_{k,\mu}(b(z))$，该表达式在泊松括号下彼此交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用有效BV量子化从拓扑量子力学中推导出代数指标等几何不变量？
• RQ2 BV量子化在实现椭圆曲线的高亏格镜像对称中起什么作用？
• RQ3 BCOV理论在 $X \times \mathbb{C}$ 上的紧化如何导致 $\mathbb{C}$ 上的有效二维手征场论？
• RQ4 在 $\mathbb{C}$ 上的有效理论以何种方式实现杜布罗文的经典与量子可积层级？
• RQ5 拓扑弦理论在卡拉比-丘流形上出现的可积层级的几何起源是什么？

主要发现

• 从 $X \times \mathbb{C}$ 上的BCOV理论紧化得到的 $\mathbb{C}$ 上的有效二维手征场论，携带一个无限维阿贝尔对称代数，其诺特定电流生成交换算符 $I_{\alpha}^{\hbar,\epsilon}$。
• 在经典极限 $\hbar, \epsilon \to 0$ 下，实现泊松括号 $\{a(z), b(w)\} = \langle a,b \rangle \partial_z \delta(z-w)$，与弗罗贝尼乌斯流形上杜布罗文的经典可积层级一致。
• 极限 $\lim_{\epsilon \to 0} I^{\hbar,\epsilon}_{\alpha}$ 给出经典层级的色散形变，与半单弗罗贝尼乌斯流形的杜布罗文-张理论一致。
• 在 $H_X[[t]]$ 上的亏格零振幅生成函数 $F_0^X$ 通过 $I_{k,\mu} = \oint dz J_{k,\mu}(b(z))$ 编码经典可积层级，其中 $J_{k,\mu} = \partial_{t^{k}\mu} F_0^X|_{\mathbb{H}_X}$。
• 该构造将戴克格拉夫的椭圆曲线结果完整推广至高亏格情形，其格罗莫夫-威滕不变量与通过玻色子-费米子对应关系构造的顶点算子代数一致。
• 该框架暗示了在 $X \times \mathbb{C}$ 上实现量子BCOV理论的自然路径，这将在一般卡拉比-丘几何中产生完整的量子可积层级。