[论文解读] Effective Chabauty for symmetric powers of curves

Jennifer Mun Young Park|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文将科尔曼的有效 Chabauty 方法推广至曲线的对称幂，当雅可比簇的 Mordell-Weil 秩不超过 $g-d$ 时，为 $\operatorname{Sym}^dX$ 的特殊集之外的有理点数量提供了有效上界。通过使用 $p$-进积分和刚性解析几何，构造了在剩余域盘上定义的幂级数，其零点包含有理点，从而得到可计算的上界 $N(p,d,g)$，并以一个具体例子展示了对于三阶超椭圆曲线，当秩 $\leq 1$ 时，$N(2,3,3) = 1539$。该方法在 Chabauty 走廊的解析结构满足一个技术性假设下成立，而当秩不超过 1 时，该假设自动满足。

ABSTRACT

Faltings' theorem states that curves of genus $g \geq 2$ have finitely many rational points. Using the ideas of Faltings, Mumford, Parshin and Raynaud, one obtains an upper bound on the number of rational points, but this bound is too large to be used in any reasonable sense. In 1985, Coleman showed that Chabauty's method, which works when the Mordell-Weil rank of the Jacobian of the curve is smaller than $g$, can be used to give a good effective bound on the number of rational points of curves of genus $g > 1$. We draw ideas from nonarchimedean geometry to show that we can also give an effective bound on the number of rational points outside of the special set of $d$-th symmetric power of $X$, where $X$ is a curve of genus $g > d$, when the Mordell-Weil rank of the Jacobian of the curve is at most $g-d$ and the curve further satisfies certain rigid analytic conditions.

研究动机与目标

• 将科尔曼的有效 Chabauty 方法从曲线推广至对称幂 $\operatorname{Sym}^dX$（$d \geq 1$）。
• 在雅可比簇的 Mordell-Weil 秩满足 $\operatorname{Rank}(J) \leq g - d$ 时，为 $\operatorname{Sym}^dX$ 的特殊集之外的有理点数量提供有效上界。
• 确定在何种条件下，$\operatorname{Sym}^dX$ 的解析化中的 Chabauty 型走廊在特殊集之外仅有有限个有理点。
• 计算特殊集之外有理点数量的显式上界 $N(p,d,g)$，并以 $p=2$，$d=3$，$g=3$ 的具体情形为例。

提出的方法

• 利用 $p$-进积分在刚性解析空间 $(\operatorname{Sym}^dX)^{\text{an}}$ 的剩余域盘上定义局部解析函数（幂级数），其零点包含 $\operatorname{Sym}^dX$ 的有理点。
• 将这些 $p$-进积分的零点集定义为刚性解析子簇 $(\operatorname{Sym}^dX)^{\eta=0}$，在假设 1.3 成立时，该子簇捕捉了特殊集之外的有理点。
• 应用牛顿多边形方法估计每个剩余域盘上幂级数方程的解的数量，从而对每个盘上的有理点数量进行上界估计。
• 引入基于矩阵的周长计算 $\operatorname{Per}(A)^\prime$，以对所有剩余域盘上的总解数进行上界估计。
• 利用 Hasse-Weil 在 $X(\mathbb{F}_p)$ 上的上界来控制 $\#(\operatorname{Sym}^dX)(\mathbb{F}_p)$，从而对剩余域盘的数量进行上界估计。
• 应用定理 5.17，将剩余域盘的数量与每盘的最大解数相结合，得到最终的上界 $N(p,d,g)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当雅可比簇的 Mordell-Weil 秩不超过 $g - d$ 时，是否可以将 Chabauty 方法有效推广至曲线的对称幂 $\operatorname{Sym}^dX$？
• RQ2 在何种条件下，可以为 $\operatorname{Sym}^dX$ 的特殊集之外的有理点数量获得有效上界？
• RQ3 如何利用 $p$-进积分和刚性解析几何，在剩余域盘上定义其解包含 $\operatorname{Sym}^dX$ 有理点的幂级数？
• RQ4 单个剩余域盘上最多可有多少个有理点，且如何对所有盘实现统一的上界估计？
• RQ5 能否为特定的 $p$、$d$ 和 $g$ 计算显式上界 $N(p,d,g)$，并在具体情形下给出其数值？

主要发现

• 本文在 $\operatorname{Rank}(J) \leq g - d$ 且假设 1.3 成立的条件下，建立了 $\operatorname{Sym}^dX$ 的特殊集之外的有理点数量的有效上界 $N(p,d,g)$。
• 对于 $p=2$，$d=3$，$g=3$，该上界被显式计算为 $N(2,3,3) = 1539$，适用于任意奇超椭圆曲线，其雅可比簇的秩 $\leq 1$ 且在 2 处具有良好减少。
• 每剩余域盘上最多有理点数量的上界为 $\operatorname{Per}(A)^\prime \leq 81$，该结果来自涉及 $\delta_\varepsilon(k,v,\ell)$ 值的矩阵周长计算。
• 对于三阶奇超椭圆曲线，$\operatorname{Sym}^2X(\mathbb{F}_2)$ 中的剩余域盘数量至多为 19 个，这是通过估计 $\#(\operatorname{Sym}^2X)(\mathbb{F}_2) \leq 19$ 得到的。
• 上界 $N(2,3,3) = 1539$ 是通过将每盘最大解数（81）与盘的数量（19）相乘得到的，即 $81 \times 19 = 1539$。
• 假设 $(\operatorname{Sym}^dX)^{\eta=0}$ 的所有正维数分支均位于特殊集中，在 $\operatorname{Rank}(J) \leq 1$ 时自动成立，从而简化了该方法的应用。