[论文解读] Effective Polynomial Ballisticity Condition for Random Walk in Random Environment

Noam Berger, Alexander Drewitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文证明了多项式衰减条件——特别是条件 $(\mathcal{P})$——在高维空间（$d \geq 2$）中足以推导出与施尼特曼的拉伸指数条件 $(T)_\gamma$ 相关的弹道行为和不变性原理。关键贡献在于证明了 $(\mathcal{P})$（该条件在有限方块上有效且可检验）对所有 $\gamma \in (0,1)$ 都蕴含 $(T)_\gamma$，从而将这些条件之间猜想的等价性扩展至所有相关维度。

ABSTRACT

The conditions $(T)_γ,$ $γ\in (0,1),$ which have been introduced by Sznitman in 2002, have had a significant impact on research in random walk in random environment. Among others, these conditions entail a ballistic behaviour as well as an invariance principle. They require the stretched exponential decay of certain slab exit probabilities for the random walk under the averaged measure and are asymptotic in nature. The main goal of this paper is to show that in all relevant dimensions (i.e., $d \ge 2$), in order to establish the conditions $(T)_γ$, it is actually enough to check a corresponding condition $(\mathcal{P})$ of polynomial type. In addition to only requiring an a priori weaker decay of the corresponding slab exit probabilities than $(T)_γ,$ another advantage of the condition $(\mathcal{P})$ is that it is effective in the sense that it can be checked on finite boxes. In particular, this extends the conjectured equivalence of the conditions $(T)_γ,$ $γ\in (0,1),$ to all relevant dimensions.

研究动机与目标

• 建立一个在有限方块上有效且可检验的弹道行为充分条件，用于随机环境中的随机游走（RWRE）。
• 证明多项式衰减型条件 $(\mathcal{P})$ 在维度 $d \geq 2$ 下对所有 $\gamma \in (0,1)$ 都蕴含拉伸指数衰减条件 $(T)_\gamma$。
• 将 $(T)_\gamma$ 与多项式型条件之间猜想的等价性推广至所有相关维度，解决随机游走理论中的一个关键开放问题。
• 通过用较弱但有效的多项式条件替代难以验证的渐近拉伸指数条件，为验证弹道性提供实用准则。
• 通过用有限方块可检验的条件替代渐近假设，强化高维 RWRE 中不变性原理与弹道行为的理论基础。

提出的方法

• 引入条件 $(\mathcal{P})$，即在平均测度下对板状区域出口概率的多项式衰减条件，作为蕴含弹道行为的候选条件。
• 采用基于空间 dyadic 分解为方块 $\mathcal{R}_n(x)$ 及通过 $D^n_j$ 构造的停止时间，以追踪游走穿越这些方块的进程。
• 利用强马尔可夫性质与一致椭圆性，通过事件 $G_{\beta,L}$ 控制‘坏’方块的数量，从而界定了从方块正侧的出口概率。
• 通过将格点划分为 $5^d$ 个不相交族 $\mathbb{L}_n^j$ 实现随机支配，以界定了‘坏’平行四边形数量过多的尾部概率。
• 结合出口概率的指数界与二项尾部概率的阶乘衰减估计，以控制罕见事件（如‘坏’方块过多）的概率。
• 使用不等式 $\mathbb{P}(N_L \geq L^{\beta(L)}) \leq 5^d \frac{e}{\lceil L^{\beta(L)}/5^d \rceil!}$ 证明‘坏’方块过多的事件概率可忽略不计，从而推导出出口概率的主要下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d \geq 2$ 的随机环境中随机游走中，能否用板状区域出口概率的多项式衰减条件替代渐近的拉伸指数条件 $(T)_\gamma$ 以建立弹道行为？
• RQ2 条件 $(\mathcal{P})$（其在有限方块上有效且可检验）是否足以对所有 $\gamma \in (0,1)$ 推出完整的 $(T)_\gamma$ 条件？
• RQ3 $(T)_\gamma$ 与多项式型条件之间猜想的等价性是否可推广至所有维度 $d \geq 2$？
• RQ4 能否在不损失弹道性与不变性原理推论的前提下，用有限方块可验证的条件替代 $(T)_\gamma$ 的渐近性质？
• RQ5 $(\mathcal{P})$ 中衰减率与由此产生的 $(T)_\gamma$ 指数 $\gamma$ 之间的定量关系为何？

主要发现

• 条件 $(\mathcal{P})$，即对板状区域出口概率的多项式衰减条件，在维度 $d \geq 2$ 下足以蕴含对所有 $\gamma \in (0,1)$ 的拉伸指数衰减条件 $(T)_\gamma$。
• 条件 $(\mathcal{P})$ 是有效的，因为它可在有限方块上检验，而与 $(T)_\gamma$ 的渐近性质不同。
• 证明表明，在事件 $G_{\beta(L),L}$ 下，对大 $L$ 有 $P_{0,\omega}(H_{\partial B} = H_{\partial_+ B}) > \frac{1}{2} \exp\{ -c_1 L^{\epsilon(L) + \beta(L)} \}$，且该事件以高概率发生。
• ‘坏’平行四边形数量过多的概率被界为 $\mathbb{P}(G_{\beta(L),L}^c) \leq 5^d \frac{e}{\lceil L^{\beta(L)}/5^d \rceil!}$，其衰减速率超过任意多项式。
• 作者证明了多项式衰减条件 $(\mathcal{P})$ 蕴含不变性原理与弹道行为，将此前仅在 $(T)_\gamma$ 条件下成立的结果推广。
• 该结果在所有维度 $d \geq 2$ 下确认了 $(T)_\gamma$ 与多项式型条件之间猜想的等价性，解决了随机游走理论中长期存在的一个开放问题。