[论文解读] On the annealed large deviation rate function for a multi-dimensional random walk in random environment

Jonathon Peterson, Ofer Zeitouni|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 14

一句话总结

本文利用再生时间与独立同分布结构，通过再生增量将速率函数与之关联，建立了多维随机环境中随机场在原点附近的退火大偏差速率函数的解析性与1-齐次性。关键结果为：在巢穴情形下，速率函数在包含原点为边界点的开集上具有解析性与1-齐次性。

ABSTRACT

We derive properties of the rate function in Varadhan's (annealed) large deviation principle for multidimensional, ballistic random walk in random environment, in a certain neighborhood of the zero set of the rate function. Our approach relates the LDP to that of regeneration times and distances. The analysis of the latter is possible due to the i.i.d. structure of regenerations.

研究动机与目标

• 理解多维随机环境中随机场退火大偏差速率函数在凸性与零集结构之外的定性行为。
• 分析速率函数在零集邻域内的表现，特别是零集为线段的巢穴情形。
• 在环境为巢穴时，建立速率函数在原点附近区域的解析性与1-齐次性。
• 通过再生时间与距离，利用独立同分布的再生增量，将退火LDP与再生结构联系起来。
• 为早期关于速率函数严格凸性与解析性的结果提供新证明，并将其推广至巢穴情形。

提出的方法

• 利用固定方向ℓ的再生时间将随机游走路径分解为独立同分布的游程，利用再生增量的独立同分布结构。
• 通过再生时间与位移的矩生成函数的Legendre变换定义退火速率函数H(v)。
• 应用反函数定理与矩生成函数的解析性，证明Legendre变换（即速率函数）在零集邻域内的解析性。
• 通过证明该区域中速率函数关于v线性缩放，建立H(v)在包含原点边界的开集上的1-齐次性。
• 利用Varadhan的退火LDP，以及退火速率函数与再生增量的 quenched 速率函数之间的联系，推导出主要结果。
• 依赖于在Sznitman条件T下再生时间的存在性，以及在方向ℓ上行走的弹道行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当环境为巢穴时，退火大偏差速率函数H(v)在原点邻域是否具有解析性？
• RQ2 在巢穴环境中，退火速率函数是否在原点附近区域表现出1-齐次性？
• RQ3 退火LDP能否通过再生结构表征？这是否能导出解析性与齐次性的新证明？
• RQ4 在零集邻域内，速率函数是否与定义再生时间所用方向ℓ的选择无关？
• RQ5 基于再生的速率函数的大偏差上界是否全局成立，还是仅在零集附近成立？

主要发现

• 当环境为巢穴时，退火大偏差速率函数H(v)在包含原点为边界点的开集上具有解析性。
• 该开集上速率函数H(v)具有1-齐次性，即对所有c > 0与该集合中的v，有H(cv) = cH(v)。
• 对于非巢穴环境，速率函数H(v)在原点邻域内具有解析性与严格凸性。
• 在零集邻域内，速率函数H(v)与基于再生的速率函数J̄(v)在巢穴与非巢穴情形下均一致。
• 通过再生时间的证明方法为理解退火速率函数的解析结构提供了新途径。
• 结果表明，在巢穴情形下，速率函数在原点附近光滑且呈线性缩放，这与一维情形中常见的分段线性行为形成对比。