[论文解读] Efficient Algorithms for Envy-Free Stick Division With Fewest Cuts

Raphael Reitzig, Sebastian Wild|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种最优的 O(n)-时间算法来解决公平分割木棍问题：给定 n 根长度不等的木棍，找出最大长度 l*，使得能以最少切割次数切割出 k 根等长的木棍段。该方法通过在精心构造的候选集合上进行一次选择算法调用，避免了排序操作，实现了线性时间复杂度，同时也解决了具有容错浪费的关联蛋糕分割问题。

ABSTRACT

Given a set of n sticks of various (not necessarily different) lengths, what is the largest length so that we can cut k equally long pieces of this length from the given set of sticks? We analyze the structure of this problem and show that it essentially reduces to a single call of a selection algorithm; we thus obtain an optimal linear-time algorithm. This algorithm also solves the related envy-free stick-division problem, which Segal-Halevi, Hassidim, and Aumann (AAMAS, 2015) recently used as their central primitive operation for the first discrete and bounded envy-free cake cutting protocol with a proportionality guarantee when pieces can be put to waste.

研究动机与目标

• 高效解决公平分割木棍问题，即在 n 根木棍中以最少切割次数切割出 k 根等长木棍段。
• 确定从给定木棍中可获得的 k 根等长木棍段的最大可能长度 l*。
• 设计一种线性时间算法，避免排序，转而对一个小型且结构化的候选集合进行选择操作。
• 提供一种实用且最优的解决方案，适用于公平分配问题，包括具有容错浪费的蛋糕分割问题。
• 证明该问题可简化为单次选择操作，从而得出一个可证明最优的算法。

提出的方法

• 该算法基于每根木棍在不同长度下可贡献的段数，构建潜在最大长度 l* 的候选集合。
• 利用基于总长度和木棍数量的 l* 下界与上界，具体为 p(Li, l̄) 和 p(Li, l̂)，其中 p(Li, l) = floor(Li / l) 表示从木棍 i 中可获得的长度为 l 的段数。
• 将候选集合限制在能为 k 段目标做贡献的木棍的 p(Li, l̄) 到 p(Li, l̂) 之间，确保候选集合大小为 O(min(k,n))。
• 对候选集合应用选择算法，以找出满足至少可切割出 k 段的最大 l*。
• 通过利用候选集合的结构和向下取整除法的性质，避免了完整排序。
• 证明该算法的时间复杂度为 O(n)，关键洞察在于候选集合的大小在 min(k,n) 上呈线性有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在以最少切割次数从 n 根给定木棍中切割出 k 根等长木棍段的前提下，最大长度 l* 是多少？
• RQ2 是否可以在不排序木棍长度的情况下，以线性时间解决公平分割木棍问题？
• RQ3 为实现最优性而需考虑的潜在长度 l* 的候选集合具有何种结构？
• RQ4 如何将该问题简化为单次选择操作，而非多次排序或二分查找步骤？
• RQ5 为实现公平方式切割出 k 根等长木棍段，最少需要多少次切割？

主要发现

• 通过仅调用一次选择算法，公平分割木棍问题可在 O(n) 时间内求解。
• 潜在最大长度 l* 的候选集合大小被限制在 O(min(k,n))，从而实现高效搜索。
• 该算法完全避免了对木棍长度进行排序，相较于先前方法有显著改进。
• 该方法在比较模型下是最优的，因为若算法时间复杂度低于线性，则无法考虑所有输入木棍。
• 该方法可直接应用于离散且有界、具有容错浪费的公平蛋糕分割问题，为此类协议提供了关键原子操作。