[论文解读] Efficient algorithms for the Potts model on small-set expanders

Charles Carlson, Ewan Davies+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文提出了一种针对具有小集合膨胀性质图的铁磁Potts模型配分函数的高效近似算法，通过引入一种新颖的‘伪基态’概念，克服了传统低温算法的局限性。证明了此类图可被划分为近乎单色的连通分量，从而在标准膨胀方法失效时仍能实现精确近似。

ABSTRACT

An emerging trend in approximate counting is to show that certain `low-temperature' problems are easy on typical instances, despite worst-case hardness results. For the class of regular graphs one usually shows that expansion can be exploited algorithmically, and since random regular graphs are good expanders with high probability the problem is typically tractable. Inspired by approaches used in subexponential-time algorithms for Unique Games, we develop an approximation algorithm for the partition function of the ferromagnetic Potts model on graphs with a small-set expansion condition. In such graphs it may not suffice to explore the state space of the model close to ground states, and a novel feature of our method is to efficiently find a larger set of `pseudo-ground states' such that it is enough to explore the model around each pseudo-ground state.

研究动机与目标

• 解决在非良好膨胀图上近似铁磁Potts模型配分函数在低温下的挑战。
• 克服现有低温算法在如通过少量边连接的不连通膨胀图上失效的局限性。
• 开发一种方法，识别出一组具有结构的‘伪基态’，以高效探索主导配置附近的配置空间。
• 建立一个理论框架，将小集合膨胀与统计物理模型中近似计数的可解性联系起来。

提出的方法

• 提出一种划分方案，将图分解为在主导着色下每个连通分量均近乎单色的子图。
• 利用谱划分与膨胀性质，识别出满足强内部膨胀（$ \varphi(G[P_i]) \geq \varphi_{\text{in}}^2/4 $）和弱外部膨胀（$ \varphi(P_i) \leq \varphi_{\text{out}} $）的集合 $ P_i $。
• 设计一种新颖算法，迭代地优化簇 $ B_i $ 和 $ P_i $，通过使用 $ \ell < k $，$ \tau = 1/(5(k-1)) $，以及 $ \rho^* = \lambda_k/10 $ 确保度数与膨胀约束。
• 应用Cheeger不等式与谱图论，通过 $ \lambda_{k-1} $ 作为关键谱参数，对膨胀进行有界并确保收敛。
• 借鉴子指数时间求解唯一性游戏问题的成果，指导近似框架的设计。
• 证明算法终止性并将其运行时间上界定为 $ O(kn^2|E|^2) $，每次迭代最多处理 $ O(kn|E|) $ 步骤，得益于边数与大小的减少。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在非良好膨胀图（如通过稀疏匹配连接的两个膨胀图）上高效近似铁磁Potts模型？
• RQ2 图的何种结构性质使得Potts模型配分函数在低温下可近似计算？
• RQ3 如何将‘基态’概念推广，以包含非单色但仍在配分函数中占主导地位的配置？
• RQ4 小集合膨胀在多大程度上可替代标准膨胀，以支持统计物理模型的高效算法？
• RQ5 在小集合膨胀条件下，近似Potts模型配分函数的计算复杂度是多少？

主要发现

• 在小集合膨胀图上，铁磁Potts模型的配分函数由 $ (\varphi_{\text{in}}^2/4, \varphi_{\text{out}}, \tau\delta) $-划分中每个分量近乎单色的着色所主导。
• 该算法成功识别出一组伪基态，使得配分函数可通过求和每个伪基态附近状态的贡献来近似。
• 该算法在 $ O(kn^2|E|^2) $ 时间内终止，每次迭代通过减少簇大小或分量间边数来确保收敛。
• 该方法通过利用小集合膨胀而非全局膨胀，克服了标准低温算法在不连通膨胀图上失效的问题。
• 理论保证通过谱图论建立，包括使用 $ \lambda_{k-1} $、$ \rho^* = \lambda_k/10 $ 和Cheeger不等式进行的边界估计。
• 该框架推广了先前在膨胀图上的工作，并为具有弱膨胀性质的图上的Potts模型提供了结构定理。