[论文解读] Efficient Compressive Phase Retrieval with Constrained Sensing Vectors

Sohail Bahmani, Justin Romberg|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 15被引用 33

一句话总结

该论文提出了一种两阶段凸优化方法，用于通过从非相干子空间中选取的约束感知向量，对稀疏信号实现高效且鲁棒的压缩相位恢复。通过依次最小化核范数和 $\beta$-范数来解耦低秩与稀疏结构，该方法在 $\mathsf{O}(k\log\frac{d}{k})$ 测量次数下实现了精确恢复，匹配最优样本复杂度，同时在标准假设下确保了对噪声的鲁棒性。

ABSTRACT

We propose a robust and efficient approach to the problem of compressive phase retrieval in which the goal is to reconstruct a sparse vector from the magnitude of a number of its linear measurements. The proposed framework relies on constrained sensing vectors and a two-stage reconstruction method that consists of two standard convex programs that are solved sequentially. In recent years, various methods are proposed for compressive phase retrieval, but they have suboptimal sample complexity or lack robustness guarantees. The main obstacle has been that there is no straightforward convex relaxations for the type of structure in the target. Given a set of underdetermined measurements, there is a standard framework for recovering a sparse matrix, and a standard framework for recovering a low-rank matrix. However, a general, efficient method for recovering a jointly sparse and low-rank matrix has remained elusive. Deviating from the models with generic measurements, in this paper we show that if the sensing vectors are chosen at random from an incoherent subspace, then the low-rank and sparse structures of the target signal can be effectively decoupled. We show that a recovery algorithm that consists of a low-rank recovery stage followed by a sparse recovery stage will produce an accurate estimate of the target when the number of measurements is $\mathsf{O}(k\,\log\frac{d}{k})$, where $k$ and $d$ denote the sparsity level and the dimension of the input signal. We also evaluate the algorithm through numerical simulation.

研究动机与目标

• 解决在最优样本复杂度下，稀疏信号压缩相位恢复缺乏高效且鲁棒方法的问题。
• 克服在提升矩阵形式下联合恢复低秩与稀疏结构的挑战。
• 实现在具有结构化照明（如使用空间光调制器或散射介质）系统中的实际恢复。
• 在噪声和稀疏性约束下，提供恢复精度的理论保证。

提出的方法

• 采用两阶段重建框架：首先通过核范数最小化恢复低秩矩阵，然后通过 $\ell_1$-最小化恢复稀疏信号。
• 通过 $\boldsymbol{a}_i = \boldsymbol{\varPsi}^T \boldsymbol{w}_i$ 从固定低维子空间中选取感知向量，其中 $\boldsymbol{w}_i \sim \mathcal{N}(0, \boldsymbol{I})$。
• 将稀疏信号 $\boldsymbol{x}^\star$ 提升为一个秩一矩阵 $\boldsymbol{X}^\star = \boldsymbol{x}^\star \boldsymbol{x}^{\star T}$，将二次测量转换为线性测量。
• 应用线性算子 $\mathcal{A}$ 将 $\boldsymbol{X}^\star$ 映射到测量值 $\boldsymbol{y} = \mathcal{A}(\boldsymbol{X}^\star) + \boldsymbol{z}$，从而实现凸恢复。
• 对 $2k$-稀疏向量应用限制等距性质（RIP），以确保在感知模型下的稳定恢复。
• 通过投影和误差界分析表明，在有界噪声下，最终估计值与真实信号之间的距离在 $\mathsf{O}(\varepsilon / \sqrt{n})$ 范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否使用结构化感知向量，在最优样本复杂度下实现稀疏信号压缩相位恢复？
• RQ2 在噪声下，解耦低秩与稀疏恢复阶段是否能实现稳定且鲁棒的重建？
• RQ3 当感知向量被约束在子空间中时，能否保证仅使用 $\mathsf{O}(k\log(d/k))$ 次测量即可实现恢复精度？
• RQ4 非相干子空间感知的选择如何影响相位恢复的鲁棒性与准确性？
• RQ5 该框架能否扩展至非高斯感知向量，同时保持理论保证？

主要发现

• 所提出的两阶段方法在 $\mathsf{O}(k\log(d/k))$ 次测量下实现了对 $k$-稀疏信号的精确恢复，匹配信息论下限。
• 恢复误差被限制在 $\left\|\boldsymbol{E}_0 + \boldsymbol{E}_1\right\|_F \leq \frac{2C(1+\delta_{2k})\varepsilon}{\gamma\sqrt{n}}$，其中当 $\delta_{2k} < 0.216$ 时 $\gamma > 0$，确保了在噪声下的稳定性。
• 通过仔细的误差传播和投影分析，该方法保证了对加性噪声 $\left\|\boldsymbol{z}\right\|_2 \leq \varepsilon$ 的鲁棒性。
• 在标准假设下理论保证成立：$\boldsymbol{w}_i$ 为高斯分布，$2k$-稀疏向量满足RIP，且噪声有界。
• 数值模拟验证了该方法的准确性和高效性，证实了理论样本复杂度和鲁棒性。
• 该框架适用于具有结构化照明的实际成像系统，如使用空间光调制器或散射介质的系统。