[论文解读] Efficient Computation of the Permanent of Block Factorizable Matrices

Kristan Temme, Paweł Wocjan|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 24被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种计算块可分解矩阵永久值的多项式时间算法——即可以表示为 L 个块对角矩阵（每个块为 1×1 或 2×2）乘积的矩阵。通过将永久值映射为量子线路的跃迁振幅，并利用矩阵乘积态（MPS），该方法实现了 O(N·2^{3L²}) 的时间复杂度和 O(N·2^{2L²}) 的空间复杂度，从而能够高效地精确计算具有带状结构及带状逆矩阵的矩阵的永久值。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm for computing the permanent for matrices of size N that can written as a product of L block diagonal matrices with blocks of size at most 2. For fixed L, the time and space resources scale linearly in N, with a prefactor that scales exponentially in L. This class of matrices contains banded matrices with banded inverse. We show that such a factorization into a product of block diagonal matrices gives rise to a circuit acting on a Hilbert space with a tensor product structure and that the permanent is equal to the transition amplitude of this circuit and a product basis state. In this correspondence, a block diagonal matrix gives rise to one layer of the circuit, where each block to a gate acting either on a single tensor component or on two adjacent tensor components. This observation allows us to adopt matrix product states, a computational method from condensed matter physics and quantum information theory used to simulate quantum systems, to evaluate the transition amplitude.

研究动机与目标

• 开发一种针对一般 #P-难问题之外的特定结构矩阵类的高效精确算法，用于计算其永久值。
• 通过将矩阵分解为小块对角块，克服永久值计算的计算不可行性。
• 建立永久值与量子线路振幅之间的联系，从而能够应用来自量子多体物理的张量网络方法。
• 证明具有带状结构及带状逆矩阵的矩阵可实现此类分解，从而实现永久值的高效计算。

提出的方法

• 将永久值表示为一个量子线路的跃迁振幅，其中每个块对角因子对应一个包含单量子比特或双量子比特门的线路层。
• 使用矩阵乘积态（MPS）来表示并高效更新每条线路层后的量子态，以追踪系统演化过程。
• 该算法对 MPS 张量进行顺序更新，每层增加纠缠维度，最大纠缠维度被限制在 O(2^{L²}) 以内。
• 最终通过收缩 MPS 张量，将演化后的 MPS 与计算基态 |1⟩^⊗N 的内积计算出永久值。
• 该方法利用每个因子内块之间的可交换性，实现门的并行应用，从而降低线路深度并提高效率。
• 运行时间与空间复杂度由纠缠维度的增长及张量收缩的代价决定，最终得到 O(N·2^{3L²}) 的时间复杂度与 O(N·2^{2L²}) 的空间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管永久值本身是 #P-难问题，是否仍可对具有特殊结构的矩阵实现精确的多项式时间计算？
• RQ2 将矩阵分解为小块对角块是否能通过受量子启发的张量网络方法实现永久值的高效计算？
• RQ3 矩阵乘积态能否用于计算对应于矩阵永久值的量子线路振幅？
• RQ4 对由大小至多为 2 的块对角矩阵构成的乘积矩阵，其永久值的计算复杂度如何？
• RQ5 在 MPS 表示中，纠缠维度的增长如何随分解层数 L 变化？

主要发现

• 该算法以 O(N·2^{3L²}) 的时间复杂度与 O(N·2^{2L²}) 的空间复杂度计算块可分解矩阵的永久值，且在矩阵大小 N 上呈线性增长。
• 该方法利用矩阵乘积态高效计算了对应于矩阵乘积 A = F₁F₂⋯Fₗ 的量子线路跃迁振幅。
• 最大纠缠维度 D_max 的增长速度至多为 O(2^{L²})，这决定了整体的时间与空间复杂度。
• 任何可实现此类分解的矩阵 A 必须是带宽至多为 L 的带状矩阵；若可逆，则其逆矩阵也具有相同的带宽。
• 该算法适用于具有带状结构及带状逆矩阵的矩阵，包括三对角矩阵与带状托普利茨矩阵，因为这些矩阵可被分解为 O(L) 个块对角因子。
• 所得复杂度界为最坏情况估计；在实际应用中，当 MPS 截断中许多奇异值可忽略时，性能可能更优。