[论文解读] Permanents in linear optical networks

Stefan Scheel|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2004

Photonic and Optical Devices被引用 56

一句话总结

本文建立了线性光学网络与矩阵永久量之间的基本联系，表明多模光子 Fock 态经幺正变换后的矩阵元可直接通过幺正矩阵的永久量计算得出。关键贡献在于，此类计算由于永久量计算的 #P-完全性而通常具有计算困难性，而量子力学为幺正矩阵永久量覆盖复平面上整个单位圆盘这一结果提供了更简洁的推导。

ABSTRACT

We develop an abstract look at linear optical networks from the viewpoint of combinatorics and permanents. In particular we show that calculation of matrix elements of unitarily transformed photonic multi-mode states is intimately linked to the computation of permanents. An implication of this remarkable fact is that all calculations that are based on evaluating matrix elements are generically computationally hard. Moreover, quantum mechanics provides simpler derivations of certain matrix analysis results which we exemplify by showing that the permanent of any unitary matrix takes its values across the unit disk in the complex plane.

研究动机与目标

• 建立一个将线性光学网络与矩阵永久量联系起来的组合框架。
• 证明多模 Fock 态中矩阵元计算的计算困难性源于永久量的评估。
• 展示量子力学推理可简化幺正矩阵永久量性质的推导。
• 提供一种使用永久量对多模光子态的幺正变换进行紧凑形式化的方法。

提出的方法

• 以矩阵的永久量作为核心数学对象，其定义为所有排列下矩阵元乘积的和。
• 引入矩阵 Λ 的子矩阵记号 Λ[k₁,…,kₘ|l₁,…,lₘ]，用于提取永久量计算所需的特定块。
• 将永久量应用于描述线性光学网络中多模 Fock 态在幺正演化下的变换。
• 通过在随机幺正矩阵上取平均，推导出线性光学网络的纠缠功率表达式，将问题简化为涉及系数及其复共轭乘积的积分。
• 对幺正群进行角度和超球面积分，以对随机初始态取平均，得到以 δ 函数和归一化因子表示的表达式。
• 利用结果 ∫|cᵢ|⁴ dμ = 3/((N+1)(N+3)) 和 ∫|cᵢ|²|cⱼ|² dμ = 1/((N+1)(N+3)) 简化平均后的矩阵元。

实验结果

研究问题

• RQ1 幺正变换后的多模光子 Fock 态的矩阵元如何与幺正矩阵的永久量相关？
• RQ2 为何此类矩阵元的计算具有计算困难性？
• RQ3 幺正矩阵的永久量在复平面上的分布是怎样的？
• RQ4 量子力学推理能否简化幺正矩阵永久量性质的推导？
• RQ5 如何利用永久量计算线性光学网络的纠缠功率？

主要发现

• 幺正变换后的多模 Fock 态的矩阵元可直接作为从幺正变换矩阵导出的子矩阵的永久量计算得出。
• 此类矩阵元的计算通常具有计算困难性，因为永久量是 #P-完全的，这意味着不存在多项式时间的经典算法。
• 任何幺正矩阵的永久量在复平面上取遍整个单位圆盘，该结果通过量子力学推理可更简洁地推导。
• 对随机初始态取平均后，得到的表达式仅涉及特定子矩阵的永久量的模。
• 平均系数的归一化因子为 ∫|cᵢ|⁴ dμ = 3/((N+1)(N+3)) 和 ∫|cᵢ|²|cⱼ|² dμ = 1/((N+1)(N+3))（当 i ≠ j 时）。
• 平均纠缠功率的最终表达式最多以 |per Λ[(1^{m₁+m₂−k₂}, 2^{k₂}) | (1^{m₁}, 2^{m₂})]| 形式依赖于四次方的永久量。